[讲稿下载] 百家讲坛 相识数学 众数学名家主讲 TXT讲稿 全集 百家讲坛, 科学技术, 实际应用, 集合论, 决定性

行云流水

专辑简介

F       胡作玄－现代数学是非常重要的，对现代科学技术起了决定性的作用，不过数学是一个幕后英雄

F       姜伯驹－在数学历史中，很多划时代的革命性思想都是在几何里面发生的

F       李文林－20世纪数学的抽象化主要是受了两大因素的推动，一个是集合论观点，另一个是公理化方法

F       林家翘－如果只有纯数学方面的发展而没有实际应用，我认为是不好的

F       史树中－在搞清楚了其中的金融道理以后，资产估值就变成了一个数学问题

F       张顺燕－数学展现的是心灵之美，展现的是思维的逻辑，展现的是理性之光

数学名家深入浅出地讲解，让你领略数学之美。

百家讲坛《相识数字》内容列表：

F       数学科学的几种新的发展（林家翘）

F       相识数学（张顺燕）

F       数学与我们的生活（胡作玄）

F       二十世纪数学的发展趋势（李文林）

F       温故知新话几何（姜伯驹）

F       数学与天文（张顺燕）

F       一门应用广泛的学科——应用统计（上）（谢衷洁）

F       一门应用广泛的学科——应用统计（下）（谢衷洁）

F       市场经济中的数学（史树中）

F       数字能保证诚实吗（玛丽·普维）

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第1讲 数学科学的几种新的发展（林家翘）

生物学一直是一个实验科学，可是，现在大家有一个很大的在美国至少看到的在MIT（麻省理工学院）还在佛罗里达州立大学，这个两个我经常去的地方，都有很大的努力，要发展解决这个问题，说数学能不能应用在生物学上？对于这个问题，大家意见很不一致，有些一直在做生物实验的人就说，生物科学是一个实验科学，没有法子用数学来解答问题。因为，生物科学的现象太复杂了，数学总是趋于简化，简化以后，就把真谛给抹掉了，不能解决不能应用。那么，应用数学的人呢？第一就要应用，比如说，结果能跟实验比较证明，并不是抽象的理论，这些事情我想刚才杨先生也提到这些事情，某些发展，像维特尼特那个理论，只是有纯数学方面的发展，而没有实际应用，一直没有应用，现在那么就觉得不是最好。而在应用数学的人觉得，没有应用的简直要不得，所以，这个纯数学完全是相反的，那么我现在讲的就是说，现在，有什么新的趋向，因为一直应用数学跟力学合作，可是，力学的工作做了几十年以后，大家都觉得没有什么问题好做了，因为我们有许多像我这个岁数的人，退休的他说，我现在很高兴我退休了，因为我学的东西，我再也没有用。他就觉得这好像是一个解脱，这个事实是大家都感觉到的事情，事实上应用数学可以一直在收纳新的科学实验结果来做应用。我想刚才李衍达教授，介绍我的工作的时候，就提到，我当初做的是流体力学，不稳定性湍流的一些理论，后来呢，我做的是天文物理，并不是完全没有关系，跟数学有关系，只是对象是完全不同，先说物理这个尺度，根本就比我们平常尺度大个10的20次方，而观测的结果不能够做实验来管制，你只能观测天然自然现象如何就是如此。所以，这个用起来是很不一致的，那我们做的工作，当然刚才说了，一般都叫林徐理论，这个徐呢就是徐遐生，徐遐生，的父亲也是清华校友，徐贤修，林徐理论现在已经因为最近的科技的发展，就是说什么就是红外线，那么，红外线的观测证明，徐的跟我们竞争的理论不对，而是我们这个理论是对的，所以这个是刚才杨先生就提到，即观测的技术，实验技术，对于科学的发展非常重要，那么现在，生物学的实验改革做得非常之多，可以用数学的方法来做，那么，最大利用数学性的东西，叫做Humangenomeproject，人类基因组计划。

这个人类基因组计划在美国是非常红的一件事情，这是我两个星期刚刚好，在公共广播电台，有两个钟头的一个录像带收在里面。这里就提到，就是在MIT里面有一个很大的一个计划研究计划，计划到一半的时候，忽然这个工业界，说你们那个太慢我要来做，就跳进来又来做了，做了以后，他为了从生意着眼，结果说把他发现的结果，都拿了专利，使得医药界就很为不高兴，结果这个事情争议到一个地步，是克林顿总统出面给他们调和，他们俩当面在克林顿面前，握手言和，算是大家不吵了，吵得不可开交，这花的钱不得了多，研究的对象也不得了多，因为，人类的基因组里头，所有的单位一个一个的，这个生物学的单位是有上十亿，都用计算机给它录控出来，genes就是基因，大概有几万个，也都一个个给弄出来。

事实上就是说，基因的数目跟所谓的DNA，大家也都听过，跟DNA来比只有1.5％，所以，主要还是DNA，可是不知道这些DNA在那儿做什么，有人就说，itisjuststuff，没有用的东西，有人就不同意认为这是一个新的发现，新的理论，所以大家都没有一致的意见，如何能把这个人类的基因组能够给它了解了，这个一方面需要实验结果，拿来的分析，一方面需要有一定的理论。而生物学，一向是缺乏理论根据。

物理学，有很清楚的理论根据，然后，推到物理化学，先谈化学，化学也是有很清楚的理论根据，生物学，基本原则完全是缺在那儿。所以，现在呢，因为，基因组分析可以用数学来做，用计算机来做一个一个地给做出来，用计算机跟普通的那种分析数学不一样的，可以一个一个来做，多它不在乎，还是都可以给你表达出来，所以，结果就做出来了有些结果，那么由这个结果，如何能够从这个推论，得到一般性的理论，这个，当然是一个很有挑战性的一个研究课题。而这个课题呢？是因为对于医药界有很大的重要性，极大的重要性，所以，钱现在多得不得了，就是刚才说的那个工业界给MIT那边的基因组计划那个比较花钱都是成几十亿美元的。所以，现在有很多学校在美国很多的学校，因为数学系的学生，好像有一点没有目标，所以，学生根本就不来读数学，他们也就采取这个制度，像我冬天去的佛罗里达州立大学它就特别设置一个masterdegreeprograminbioinfomatics（生物信息方面的硕士学位计划），拿这个号召他可以招到学生，否则，它招到的学生都只是中国的学生，清华大学的学生。

所以现在在美国也是一个，这个结果还有一个program叫做Programofmathematicsandmdecuialbiology（数学与分子生物学计划），这个计划，是什么人提倡的呢？是美国科学院会刊主编干的。这个，是美国科学院有一个发表的杂志，很权威的杂志，现在是所有的文章都差不多只有生物学在里头，因为，原来我们的文章也都曾在里头，现在他们好像专门欢迎生物学的理论，所以，这么厚一本，每两个礼拜出这么厚一本，里头生物学很多，其中也有分子生物学他这个主编是一个伯克利的一个生物科学家，他就来组织一个叫做数学与生物分子学计划，这个计划，就是希望数学家跟生物学家合作，而他头一个感兴趣的问题是什么呢？是一个拓扑问题，这个拓扑问题，跟杨先生讲的拓扑问题，稍微不同一点，很具体，主要的一个东西就是纽结理论，拿绳子拴几串拴几节拴几圈，Theoryofknots纽结理论。这也是一个拓扑学里面一个特别东西，为什么他研究这个问题呢？因为这个跟生物的问题的，非常密切关系，就是说，他们现在发现的就是所有的蛋白质，分子都长得不得了的一个分子，而是有一个chain，链条，一个大的链子，这个链子有时候就拴起来的，这个链子有一部分是DNA，有一部分是基因就拴起来，拴起来，假设有化学作用，生化反应，拿一个酶一碰，它这两个接的地方就会重新连接，原来是这样接口的，现在就变成这样的接口了，所以这个基因的作用，这一改当然整个链的性质都改了。

所以，这个很微细的改动可以有很重要的结果，这是一个拓扑变化，他这个拓扑跟杨先生刚才讲的拓扑精神是一样的。内容是不一样的。从这里头他们也有几何分子定理，从因为研究这个基因组，而出来的定理，对这个有很大的关系。那么，现在这个关于生物信息学这个材料，这个学科，因为有了基因计划以后呢，就被人们分作两段，一段叫做基因信息学，一段叫做后基因信息学。基因信息学就是用informatics，informatics是什么意思呢？这个字也是大家不大常用的，就是讲就是信息科学，Post－genomeinformatics，就是理论的一部分，就是有了genomeinformatics，有了那么些data，我们现在可以去发展理论了。这就叫做Post－genomeinformatics。

在这以前，大家就是用的计算生物学，来分析把它的规律化给它总结起来，就是分成这两个要了解这个东西其实很简单。所以，简单大家学微积分的时候都学了，300年前，牛顿得到万有引力定律，他怎么得到万有引力定律？其中，最主要是开普勒运动三大定律，对不对？三个定律，这三个定律，呢，你想一想，你在街上看到个行星行动，然后，你想想所所看到的是什么呢？是行星绕着地球走动，假设你用的行星绕着地球来走，里面的行星跟外面的行星走的轨迹是不一样的，一个圈圈再加一个圈圈，可是你改一个观念，你说我把这些行星都绕着太阳来转，结果就很简单，所以说，观念上是有一个改变，可是真正做这个数据分析，你得把它化成太阳。这样才行，现在就充溢了，用计算机一下结果很快就出来了，当年开普勒他们这些人做的时候，你想想他们一点一点地做出来，很困难。可是，无论如何，他是先分析数据，从数据得出一个比较一般的简单的一个规律，就是说，这许多行星都绕着太阳是一个椭圆，对吧这我们大家知道，然后，牛顿拿了这个问题来了，就变成数学问题了，已经它有一个数学的描述了。可是它有什么意义呢？它的涵义怎么得来呢？

因为，牛顿他是研究过加速度，是根据力有关系，所以他就把这个东西的加速来分析，可是他分析的时候很难了，他得先发明微分，促进一个新的数学发展，他得需要发明无穷小，无穷大，这么几个观念，然后才得到微分，然后才得到他的万有引力。一有了微分方法，你很快就可以得出来了，我们在学一年级学微积分的时候，是不是大家还学这个题目？我们那个时候是一定要学的这个题目。就是说这个题目，就是应用数学最标准的一个简单的题目。应用数学做的事情是什么呢？

第一是分析实验结果，第二是把那个分析的结果，用数学方法推论出来一个基本雏形，或者至少更普遍的一个原则。这是应用数学，应用数学不是那个数学方法，数学方法只是应用数学的方法，或者用计算机，或者用分析方法，或者用渐进分析，摄动理论，这都是数学方法。不是应用数学本身，应用数学本身是当初牛顿当初做的解释。所以，现在我们面对这个生物学，有许多经验性资料，多得不得了，他们现在都用maths就是多得不得了，简直没有办法了，亏得是计算机才能把它处理。所以，第一步数学跟生物学，发生关系就是处理这个数据。整理出来把它弄成简单的弄成像kplerslaws那么简单的结果。你当然不一定能得到这个结果，它自然规律如何就是如何，他给你弄得最简单，然后从这个简单的情况之下，你也许得发明一个新的数学，才能够把它归纳成一个大的原则，才能够了解这个。

这一部分，他们现在就给它取了一个名字叫做Post－genomeinformatics，这个Post－genomeinformatics，是什么呢？就是有了genomeinformatics，有那么多数据，我们来处理这个问题。是不是能得到一些一般性的原则？只能问是不是，绝对希望是可以，然后根据这些原则，就可以做预测。就可以预测。这个就是牛顿那个成功了，牛顿他得到万有引力定律以后，从万有引力定律，再解微分方程就把那个椭圆找出来了。原来万有引力是从椭圆来的同时这个万有引力，不只用在这个上头，而且用在更大的一块像galaxy，我们过去跟徐遐生我们合作研究galaxy，用万有引力，可研究牛顿定律，应用在一个blionstars上十亿颗行星每一个star是一个运动的，微分方程，那你现在，计算机还是做不了，他们现在能做的只是一百万颗星，还有他要在100万个，每一个star都拿来写着用计算机去算。算得结果，跟我们分析方法完全是另外一个做法，得的结果是一致的。

所以这是很重要的一个对于我们是一个很重要的贡献，同时我们非常体会，我们用分析方法的人，总觉得用计算的方法不是最好的办法。因为什么呢？因为你一用计算方法，得出来的是个别的数据，跟这个实验得的数据是一样的，他不能够说出来你这个东西，最后可以变成一个一般的原则，这个很难得到，所以用分析方法就可以得到，这两个是相辅相成，不应该偏废，绝不能这个好那个不好，一定都两个共用。所以我们现在就是说，面对生物学的chalenge挑战，我们如何发展一个理论的生物学，现在理论生物学这个名词，很多人是不均一用，为什么呢因为有一批人已经做过一件事情，出过一个杂志，叫做theoreticalbiology，理论生物学，结果他们做的东西，生物学是分子，分子是化学，化学是物理，必须应用量子力学，就同量子力学这里开始往上算是，结果再也达不到跟实验比较的结果了。所以，大家就觉得，理论生物学都是在空中楼阁去了。所以，现在他们索性就叫做生物信息学。不过，实质我们我们应该叫它理论biology，所以这个informatics至少得是theoreticalbiology，一个方向。我们这里讨论的就是理论方向，那么，讨论的对象是什么呢？

这个呢是1974年，我跟一个我从前的学生，两个人写了一本书叫做《对于确定性模型的应用数学》这里头左边这个图，大一点那个图呢，上面那个图呢，就是这个学生那个时候已经开始，他原来也是做这个应用数学的，他跟我写了一个论文，以后我们决定他应该去走另外一个方向，结果他就走到生物方向了。现在研究避孕，这种避孕的方法不需要，做到分子，只需要做到化学，还是流体力学，流体力学加上化学，加上那里头生物的东西在里头，那么他就可以一样用的偏微分方程来做，我们另外一个学生，就跟徐遐生就去做了。这就是我们研究一个螺旋星云。一个有螺旋性构造的galaxy，这个螺旋性构造的galaxy是研究了好久，大家都观测数据，跟biology很相像，而且，这里第一步要做很成功的，就是变成系统化，就叫做哈勃，classification，因为不知道上面有个telescopespacetelescope，叫做哈勃telescope，纪念哈勃，这就用第二个这是哈勃75年前所做的，classificote一直没有人，能够整个解释就是从75年前，我们当然花了三十几年，除了徐遐生之外还有跟我合作的人找出一个办法，能够解释这个简单的一般性的归属解释一下。所以，生物学要研究蛋白质结构，也是希望能够如此做下去。他们研究protenstructure的人，就是说现在已经说了，就是说，现在protenstructure第一步要做的事情是什么呢？就是做出一个分类系统，然后在生物学家用的当然他就想到植物分类，动物分类学这个，有讲这种，分类学的，他说用一个字，大家不一定知道就是taxonomy，就是分类学所以生物方面他认为第一步要做的，就是分类，分类学就是，也是用在线数据组织成系统，然后这样做出分类，分类以后，用的参数，你分类，你得说，比如星云，有这种各种各样的形状，它至于有什么别的基本的性质，怎么一个关系，有一个相互关系，这就是做的时候，哈勃不得了的一个成果，当初写的卡斯马洛夫斯基就觉得他做的工作不得了，好象星云的形状乱得不得了，可是，他居然能够整理出一个系统。所以这个工作在这个地方。

同时他用的数学很简单，比如说，星云螺旋星云，他只看到他们的缠卷，有的很紧有的很宽，所以这个是一个，还有，就是所有的很宽的星云都比较亮这个很奇怪，所以，这个看背后的物理机制是什么，还有别的我不去提就是这一个分类学应该在mdecularbiology，这个时候，当然就需要很多computer很高的人，同时也有物理跟数学的基础来看，当然之间就是物理化学，因为，biochemistry，我想在清华已经好几位研究，生物化学，您是用biologyinformatics做的是用computer还是不用computerscience，李先生是做biologyinformatics生物信息学，那么，现在呢，我今天报告一件事，就是提醒诸位，这个是很有前途的一个学问，第一它问题很重要，肆意你解决了问题以后，是有实际的效果，而且这个问题是一个基本问题，因为，生命大家都知道，都要懂得了，所以这种说法，并不是我一个人在这儿说，我现在把这两个给大家看一看，其实我刚才已经讲过了，这是一本书，题目就叫Post－genomeinformatics，这本书2000年刚出版的，去年刚出版的，它就讲现在biology这三个science里头，只有生物上还缺乏数学分析。数学根据许多一个演绎系统，所以现在大家最热门的事情，就是如何能发展出来一个演绎系统，这个演绎系统它就叫做生物信息学。现在是这么一个情形，我今天一个主要问题就是提醒诸位，这是一个新的发展方向很多人还没有想到。清华已经有人注意到这个方面，这个方面将来是很有前途的一个发展，不止是在美国，在清华也是很大的一个希望。而中国人，我想做这种工作，很可能会超过其他的地方，因为，现在大家都刚刚开始进入这个，所以它那个底子是大家都一致，现在，反正外面的信息，通过internet也可以拿到，也可以在这个地方做，在美国许多computerprogram计算机程序找的动是中国人和印度人，本国人，美国人不行，这种人少了不够用，所以这是一个很好具体机会。从基础科学来讲，也是很好的一个项目。从实际情况来看，也是一个很好的项目。

这就是底下这种东西不是不得了的多，一共只有20个，这个单位只有20个。生物并不是不得了的复杂，而且是非常的复杂，要不然呢，大家把这个问题解决了，就没得做了这个还可以有机会发展，有天才的人尽量发展，这个一步一步做上去，一步一步就知道如何把生命的了解了，有了这个了解以后，然后，就可以发展医药，用什么药来治什么样的病，有些病只是在基因里头。错了四个基元，就变成了非常复杂的生命体。比如说他什么病，人的身体是不能处理fat不能处理脂肪，你不能处理脂肪，你所有的东西，吃东西就受影响，这个基因跟另外正常的基因，只差4个基元，所以这个是不得了的一个复杂的现象，你要能够了解，了解到从大到小是数items，然后就发现就是这个基因，既然这样复杂，我们怎么办呢？人的基因太复杂了，所以，就有人先研究真菌，我不知道是不是真菌，不是细菌的是一种真的菌，真菌，这个是我在MIT碰到一个人，是一个中国人，是上海华东师范，他这个人从上海华东师范到英国的剑桥大学念了一个博士学位，然后找到学校，就在MIT他就有这种看法。就是说，应该先研究简单的事实，所以这个可能发展的方向，是很多很具体，可能复杂只跟复杂，繁琐只跟繁琐，这个跟杨先生讲的是完全对比的一个，他那个是很简单的基本观念，其实那个观念并不简单，所以这个就是两种对照。

现在发展生命科学，他们现在用生命这个词，我不太喜欢这个名词，生命科学，我觉得说，biology还比较具体，lifescience研究说，有些个在野生动物里头，植物里头大家竞争什么的，怎么就别消灭了什么的，我觉得，biology还是比较具体能讲的。所以，研究biology也是已经够复杂的了，而是这个基础科学。那么，这种事情，所有应用数学的人，对这个很注意，因为，美国的SIAM，美国工业与应用数学学会，他的主席也是我一个同事，他现在决定，筹建一个生命科学的小组，在他的学会里开始去年刚刚开始的，所以这是21世纪开始的时候，好像这个行业是非常受人注意的。我想就讲到这儿吧。再讲下去太琐碎了。

问：我想请问一个问题，就是和这些东西有比较密切联系的混沌理论，您对这个有什么看法？尤其是它现在的发展趋势？

答：我最近讨论一下，很多就是关于混沌理论还有关于湍流的问题，还从层流过渡到湍流的问题，我们那边有很大的争议。各派各派的意见不同，我写了一篇文章，解释为什么会出现争议，为什么这些争议又是不必要的，这个混沌理论也是另外一个做法，至于它能得到一个什么结果，我也是跟杨先生刚才说的一样，照我个人来看，我还没看出来他们有什么结果。

问：您刚才说到那个生物学，我感觉就是和凝聚态物理，有很多相似的地方，它是属于数据原始积累的过程吧？因为很多数据需要处理，而且，在实验的过程中，有很多那个需要个案出来，然后这种情况下，可不可能在一定时间内，或者说在较长的，或者中等的时间里，找到一套比较普遍使用的东西呢？

答：这是大家的希望。

问：就是您认为这个可能时间有多长？

答：这要看有多少经费来支持。就是刚刚我提到的美国总统，出面来调解这两派，一个就是工业界出的上几十亿美元的投入，找好多人来做，他说你做的太慢了，所以他就推动，我觉得这许多问题呢，我随便想了一下，假设不是有特殊的规则的话，就像大家找很多人来做，其实，找很多人来做，并不是最效率的做法，你可以做出结果来，用的人力资源用的很多了，所以，并不见得是最好的工作。你要听其自然呢，我估计一下，就像现在的发展，听其自然，假设主要还是才能，就是年轻人要到这里头去，那么因为你要做分析数据的事情，不需要特别的才能，当然也需要你得有个开发，就像开普勒那个事情要绕着太阳走不要老绕着地球走，这种事情，这种看法也有关系，不过主要还是在做这种事情，钱用得越多，做的人越多那就越快了，底下那一步是看才能了。所以这种事情要估计下来，你可以说，我可以说，随便说吧，现在同时做理论和分析，同时做30年以后，也许实验的结果都得分析得差不多了，50年以后，理论就出来了。

问：我想问一下，您刚才说，数学和生物的联系，您预计在今后10年内，生物学最能得到数学哪一块领域的技术支持，或者说，数学最能够就是它的机械的逻辑性，在生物哪个方面得到实现？也就是说生物和数学，这两个学科最完美的结合点，是在哪儿呢？

答：其实这个问题50年以后，可能配合起来，这个学科，变成一个普通物理化学的样子，就不见得未来的事情没法预测。因为你可以想象这个基本问题，data非常的多了，整理出一个原则，一个理论，你可以推测，跟实际比较，这当然要有很多工夫了，是不是肯定这个事情是很复杂的。是不是有这种你想象中的理论，那要打个问号。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第2讲 相识数学（张顺燕）

同学们好，老师们好，今天我讲的题目叫做相识数学，我打算展现给诸位一门特殊的学问和一门特殊的艺术，这就是数学。我希望通过这次讲座，能够改变你对数学的看法，能够丰富你对数学的理解，能够消除你可能对数学存在的误会，使你认识到数学的重要性，使得数学成为你的朋友，在你的学习和工作中，成为你的得力工具。那么我讲的主要内容包含着一，数学与艺术。二，什么是数学。也就是我准备给数学下一个定义，第三我讲数学的真理性，换句话说数学的定理，并不是客观真理。我想回答这个问题，四，我想讲数学的特点，那么，最后我可能提一下，数学的重要性，但是不会充分展开，因为时间不够，下面，我先讲第一，数学与艺术。

数学之美，是看不见的，它隐藏在大众的视线之后，因而，数学的美常常是被忽视的。而，只注意数学的使用方面，这样，使数学就变成一门枯燥的学问。或者只是为了应考，使得一些同学，或者一些人，对数学产生了一种厌烦，那么这是不符合数学本身的思想，也不符合现代素质教育的思想。因而，我要把数学之美，展现给诸位。那么，第一天，我要谈的就是说，数学是美学的四大支柱之一。

美学哪四大支柱呢？就是我们屏幕上显示的，第一是诗歌，它展现了心灵的艺术。表达心灵之美，第二大支柱是音乐，第三个是造型艺术，造型艺术，包含绘画，雕塑，建筑，这三种艺术用来表达人的感情，表达人的情趣，那么，第四种支柱就是数学。数学展现的是心灵之美，展现的是思维的逻辑，是理性之光，只有把理性和感性的认识结合起来，那才是完美的美，这里面我要提提，为什么把美看得这么重要，我把美放在第一位来谈这个，那么我想有这么三条理由，第一条理由就是科学价值的评价有两个标准，一个标准是美学标准，一个标准是实用标准，任何一门科学，物理学，化学，生物学全是这两个标准。

过去我们讲数学忽略美学标准，重点地讲实用标准，甚至重点地只讲考试，所以这是不全面的我们把它纠正过来，第二个讲科学研究的任务有两条，一条叫判美，一条叫做析理，什么叫判美呢？这是我从中国古代大哲学家庄子的话里面摘取的，就是你看银幕上写的叫判天地之美，析万物之理。什么叫判天地之美呢？就是要把宇宙间的和谐和韵律找出来，而且鉴赏它，这就是判天地之美。那么，简而言之叫判美。那么第二个就是析万物之理，我们光判美还不很，我们得把控制事物的自然规律找出来，所以，科学的任务就是两条一个是判美一个是析理，我们想通过这个讲座，把数学的魅力展现给大家，把数学推理的奥妙展现给大家，这是第二个理由。第三个理由，我们说美和真连接在一起的，美国著名博物学家赫胥黎此人名气很大，就是说，达尔文的进化论是靠着这位赫胥黎才奠定了他的基础的，所以这是一位大博物学家又是一位大演说家。他说了这样一段很深刻的话，就是我屏幕上写的，叫做科学和艺术是自然奖章的两面，一面是用感情来表达事物的秩序，一面用思想的形式，来表达事物的永恒秩序。所以，美和真本来应该是连在一起的，希腊箴言有这么一句话，叫做美是真理的光辉，因而我们一定把美和真联系在一起。

英国诗人济慈写了一段诗，这段诗写得很好，就四句话，叫做美就是真，真就是美，这就是你所知道的和你应该知道的。因而，我讲了三条理由，讲美是研究数学必不可少的有了美你就有兴趣，有了美你就可以深入，美既是激发你的感情，又是推动你前进的动力，所以我想应该让我们怀着美来探索数学的奥秘，这是我讲的第一段。

那么，我讲第二段，什么是数学，因而我今天要给数学下个定义，但是我们看到给数学下定义是一件困难的事情，为什么？你拿任何一个东西下定义都不容易。比如举个例子，咱们给狗下定义，什么叫狗？你说它有四条腿一个脑袋，两个耳朵一个尾巴这是狗的必要条件，每个狗都有这个，四条腿，两个耳朵一条尾巴，但是，猫也有，老鼠也有，你这个定义不能够把狗从老鼠和猫里面区别开来，因而，真下个定义并不容易。不信你回去试试看，那么这就是说，给数学下定义也不容易，因而数学定义不是唯一的。今天我讲一个最基本的最追求最精湛的定义是恩格斯给的定义，叫做数学是数和形的学问。

我首先讲，数学是数和形的学问，它包含着两大分支，数学这棵大树它的根深深扎在现实世界之中。它有两大主干，一个是几何一个是代数。代数又分成很多分支，比如说，线性代数，高等代数，群论等，几何又分成很多分支，欧式几何，非欧几何，包括双曲几何，椭圆几何微分几何很多支，同时，这两大支干还互相交叉，形成很多其他新的分支，我们讲，数学是一棵大树，这棵大树如此之古老它已经有上万年的历史，这棵大树如此之常青，它每年都在发新枝。这个大树是如此之繁茂，它从自然科学深入到社会科学的各个领域。现在已经深入到深入的各个领域。这个树又是此奇特，奇特在什么地方呢？这个树是同根异干，同干异枝。同枝异叶，同叶异花，同花异果。它没有两个枝是一样的。没有两个叶是一样的。是非常奇特的一个树。等一下我们摘那么一两枝来看看到底它怎么奇特，到底它多么地不同。那么，现在我们先来讲，它的两大主干，一大主干是几何，一大主干是代数，那么，什么叫几何？几何是研究空间形势的，那么，几何是是是视觉思维占主导地位，要用眼睛看，培养知觉能力，培养洞察力。

我们看代数，代数是数量关系的科学，它有序思维占主导地位，它培养逻辑能力，培养符号运算能力，我们通常学代数，学几何，如果你没有从整体上把握这两个特征，那么我说你的几何和代数没有学透。事实上，由知觉和洞察力发明的那些东西，要靠逻辑来证明。所以这两者是相辅相成的。不能互相分开。

华罗庚他关于形和数之间的关系，描写得非常好。他说，数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分开万事非。那么现在我们回到数学定义，什么叫数学呢？在19世纪末，恩格斯根据当时数学发展情况，做了一个精密的总结。他说，数学就是研究空间形式和数量关系的科学。恩格斯这个定义，直到现在，仍然概括了数学的大部分。但是19世纪末，20世纪初又诞生了一个新的数学分支。比如数理逻辑，它里边没有形，也没有数，所以，很难数理逻辑又归到数和形的学问里边。这个定义也有它的局限性，因而，人们又企图寻找新的定义，那么今天新的定义我们就没有时间介绍，告诉大家的的确确还有，那么你自己也可以去寻找，我讲第三条。

第三条我讲花瓶上的几何学。大家看花瓶，这个花瓶上展现了三种几何。大家平时都听说过的，非欧几何三角形内角和不等于180度，双曲几何三角形内角和小于180度，这是双曲几何在底下呢。椭圆几何三角形内角和大于180度，它在上面呢。欧氏集合2，三角形内角和等于180度，在中间呢。所以，我们一下子就在这里看到了三种几何，那么，这三种几何是怎么诞生的呢？现在我来讲一讲。

首先我讲，一维几何就有三种不同的几何。那怎么说呢？咱们看看一维几何？一维空间就是一根线，或者一个曲线，用一个参数可以描述的。直线曲线都是一维的平面是二维的空间是三维现在我们来看看一维的几何。先看直线，直线画了三个点，我把直线左右分一下，我假定人站在B点，面向上，他的左手指左边，右手指右边，我这个图上写出来了，所以，A在B的左边。B在C的左边。那么，结论是A在B左，B在C左，结果A也在C左。对吧，但是，咱们再看看圆上的几何。我假定人站在B上，面朝外，他左手指的地方是左右手指的地方是右，所以，上面画出来左右了。那么，显然A在B左，B在C左，是不是A在C左呢？不是，现在，A在C右，这个位置关系不一样了，我们知道几何学是研究空间的几何形体在空间中的位置，及其相互关系的，现在它们的相互关系变了，在直线上B在C左，A在C左，那么，A比在B左，但是，到了圆上A在B左，B在C左，A在C右。展现的是不同的几何位置上表现了不同的含义。

那么再看还也不同，看直线上三个点，ABC，B在中点，只有一个中点，AC都不是中点，但是看圆，A是中点，B是中点，C也是中点。每个点都是中点，因而，在一维空间，至少就有两种几何了，我们现在只考虑位置还没有考虑到长度。现在，回过头来，我们来看，二维几何。

讲二维几何，我们刚才讲了三种，叫欧氏几何，双曲几何，椭圆几何，我来讲讲这三种几何是怎么诞生的，首先我们看，欧几里得公设，我们必须回到出发点，欧几里得几何是公元前2000年前就已经诞生了这个几何一直是中学教育的重要内容，而且我们的几何，和欧几里得几何，本质上没有大的差别，只是后来做了些技术上的改进。那么，欧几里得集合是从5条公理出发，推演出几百条定理。非常复杂，非常深刻定理，那么，欧氏几何就成了一种样板，使得所有的人类文明的各个领域都以它为样板，把知识总结到，就是简化到最简，然后，再把复杂的理论推出来，这是非常好的一个模型。

那么，欧几里得几何5条公理我们把这5条公理重复一下。第一个就是接连任何两点可以做一个直线段，这没有任何怀疑，第二个一个直线段可以沿着两端任意延长，第三个，以任意点为中心，过另外任意一个点，只能做一个圆，第四个，凡直角都相等，第五条，如果在一个平面内，任意一条直线与两条直线相交，我们把图摆出来，任意一条直线与两条直线相交，如果，相交的一层的内错角之和小于π，那么它一定在这侧，如果α＋β小于π，那么，这两个直线一定在这一层相交，这是欧几里得的第五公设，后来，人们觉得第五公设比较复杂，改成一种等价的形式，就是过直线的一点有一条平行线，且有一条平行线，有这个，直线L上面有一点P，过点P只能做一条平行线。这就是欧几里得几何，欧几里得几何诞生之后，人们就开始研究第五公设，为什么前四条公设都是有限平面内，看得见，摸得着，第五条谁也没有到过无穷远，它的要延长到无穷远不相交，谁也没到过无穷远。对于欧几里得本人也有怀疑，还有的人觉得这个东西，不像公理，像定理，我能不能把它证明。所以，从欧几里得开始，就有各种各样的数学家来研究第五公设，或者想代替它或者想证明它，研究的总人数超过一个军团，但是，始终没有任何结果。到了17世纪18世纪19世纪，最著名的我们提出三个人来。
一个是1829年，俄国数学家罗巴切夫斯基，他写了书，他的书名叫论几何基础，在这个书里面，他假定过线外一点，有两条线与所给直线平行，得到了个几何，其中得到很多奇妙的定理，但是没有矛盾，一个是1832年，匈牙利的数学家叫鲍耶，他写一本绝对几何学，他也假定过线外一定，可以做两条线和已知直线平行，他也得到很多结论，他把他的几何学叫做星空几何学，他自己说，我通过自己的双手，建立了一个奇妙的新世界，也没有矛盾，他把这个东西寄给了高斯，大数学家高斯，高斯怎么看呢？高斯比他们早2、30年已经知道了这种几何形式存在，但是，高斯比较谨慎，他不敢说，他怕引起争论，他别人说他，他只是给鲍耶的爸爸回了封信，他说，你的这个想法我早就有了，所以使得鲍耶的爸爸感到很丧气，那么高斯的事情是从他死了之后，从他的手稿里面拿出来的，但是，当时这个思想是及其先进，大部分数学家没有接受它。一般人更不接受。

那么同时我们讲一讲欧氏几何有什么意义。我们得到了三几何，这三种几何都是相容的，彼此之间没有矛盾，那么，马上人们就怀疑，欧几里得几何是真理，这个事对不对，所以，这一点我们就提到数学的真理性。欧氏几何几何的诞生，动摇了人们的真理观使人们认识到数学是一种思维的产物，不是客观世界的产物，同时，又让人看到，三种几何不是两种几何，也就是说，数学是逻辑的产物，数学的结果比自然的结果要丰富，自然界只是其中之一。在这里边，我们顺便提及，三种几何在我们通常的尺度下，无法辨别，现在还没有测量仪器可以在正常尺度下辨别它的大小，在正常尺度下，三种几何的角度都接近于180度，高斯曾经找了三个山头，他以为很远了，测的结果呢？当然不是180度，为什么呢测量有误差，但误差非常小。到底是三角形不是180度，还是仪器不精确造成的，这个没法分辨，我们说了三种几何，我们拿出来几何来看看，的的确确，数学是这样，同枝异干，同干异枝，同枝异叶是不同的。每两个东西都是完全不一样的。

那么，几何学是不是只有这三种，有没有别的种呢，我们说，还有很多种几何，还有摄影几何有限几何，拓扑学，种类很多。那么，今天，还想再介绍一个，跟几何学有关的课题，那是想先介绍一下绘画和几何的关系。
达芬奇是文艺复兴时期最杰出的画家，他画了很多非常出色的画，他一生画得不多，但，每一幅画都是镜片。比如说，蒙娜丽莎，这大家知道的，比如说，最后的晚餐，达芬奇自己这么说过，任何人类探求活动，也不能成为科学，除非这种活动通过数学来表达，或者，经过数学证明，为自己开辟道路。他的绘画的就是以数学开辟道路的。那么，这里面我们就讲，他要画东西，怎么画呢？这很简单的事就是近东西要画大，远东西要画下，那么，近处大，远处小小多少？你不能笼统讲，远人无目，我不画眼睛就完了。那不成，因为那精确，你要精确地再现，你就要有数学定理，还有，眼睛看到的几何学不是欧氏几何。

为什么？我们站在铁轨的两边，看铁轨，那么近处宽越靠远处越窄。站在马路的两旁，站在这边看着这边宽，站在那边看着那边宽。所以，眼睛看到的几何学和欧氏几何学是不一致的，另外，还应该研究一个，眼睛看到的几何学，视觉几何学，而且应该把这种几何学画到绘画里面去，那么，我现在展现给大家一个图。而且，绘画还要以数学定理作引导，我们看这个画。

这是个走廊，这个走廊，是平行的，但是，你画出来不能画平行，你怎么画呢？你看，这是两根平行线，而且，这两根线是要相交的，相交到这一点，这个交点叫做没影点，这个交点叫主没影点，这个线叫水平线，所以如果我们作一个真实地表达客观现实的画的话，我们首先要有几何定理来保证，那么，我现在给两条定理。一定定理就是说，凡是和画面垂直的，那些平行线要相交，看到没有？还有，凡是和画面平行的这些线要画成平行。这就两个定理，当然我是我是粗浅地讲绘画，你深入地讲绘画，还要有别的定理。很得更深入。所以，你看到，绘画是要用到精确的数学，现在我们来看达芬其的最后晚餐。

这是耶稣，这是他的六大门徒，靠上看这是天花板，那么，耶稣张开着手，扶在这儿，诸位看看这个里边到底有什么几何构图呢？我们来看看的达芬其最后晚餐的几何构图，他分成这么几块，一二三四五六七八，中间这个正方形画出的对角线，耶稣的脑袋就在这个中点，这个中点是没影点，那么看，详细地看，这是两个对顶角，这个对顶角这边画着门徒，这边画着门徒，耶稣就在这里，上边都画出了大的天花板的位置，那么这个图就更加详细了，这边是六大门徒，这边六大门徒，这是耶稣的脑袋，然后这里是天花板看得很清楚，那么，最后完成的结果呢？就是，这是天花板，这是耶稣的头，在这两个对角线里面，这是六大门徒，这是六大门徒，而耶稣的两个胳膊，正好构成三角形，趴在桌子上，所以，他做了精确的数学构思。那么，现在，我讲一讲数学的特点。

第一个特点是抽象性，数学非常抽象，点，就是很抽象的概念，为什么？没有大小，只有位置。直线，有长度，许多宽度，平面，没有厚度，这要靠抽象。数本就是抽象，三，三是什么东西呢？只有和狗马结合起来才有意义，光一个三是很抽象的是从各种不同的具有三性的东西里面抽象出来的。所以，数本来就抽象，然后我们又把数抽象到ABC，ABC还不够，我们抽象成函数，泛函，一级高一级，所以，数学的概念非常抽象，而且，数学的论证也非常抽象。数学不靠实验，你说，歌德巴赫定理，我验证到100万那不成，得不到承认，必须证明，所以，数学一是概念抽象，二是推理抽象，就是它非常抽象。

第二个数学非常精确，是任何一个其他自然科学达不到的，它精确的定义还有准确的结论。是它的特色。在数学中没有含糊，一等于一，二等于二，没有可以通融的，讲个故事。有一次，三位著名人物访问云南，一个是文学家，一个是物理学家，一个是数学家。走到云南，靠窗外一了望，文学家感叹，云南的羊都是黑的。这个物理学家一看，说，云南有一块地上有一只羊是黑的。数学家也看了看，数学家说，在云南，至至少有一块地上，至少有一只羊至少有半边是黑的。因为，那半边他没有看到，他说的是极其准确的。那半边是花布的不是花的呢？那可能还是花的呢，所以数学的一大特点是它的精确性。

数学最后一个特点，第三个特点，就是应用的广泛性，这里面我们引用一下，华罗庚教授的一段话，他是这样讲的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧地球之变，生物之谜，日用之繁，数学处不在。凡是出现的量的地方，就少不了数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化，等现象，都少不了数学，数用之用，贯穿到一切科学的深处。而成为它们得力的助手和工具，缺少了它就不能准确地刻画客观事物的变化，更不能由已知数据推出其他数据，因而，就减少了科学的预见的可能性，或减弱了科学预见的精确性。

华罗庚先生，非常精确地讲了数学的应用，事实上，我们讲，二次世界大战之后，数学，和过去的面貌，发生了质的变化，来原因有两条，一条是数学已经直接深入到社会科学各个领域之中，直接应用。一条，计算机诞生，使得人们可以通过计算机做数学实验，所以，数学现在的用处，非常之大，非常之广，超出了我们的想象。那么，这里面，我顺便提一下，就是说，数学将成为以后，人们选择职业，或考核人的水平的一大重要标准。换句话说，数学，越来越将和就业紧密地天下在一起，现在我们就业要文凭，要学历，把这个文凭学历背后要求的东西，分析一下，只有两条，一条是你的语文水平，你表达能力如何，一条是你的数学水平，现在在西方先进国家，已经把学历的考察作为第二位，首先考察的是这两个能力。他们把这两个能力，分成六个阶梯，不同的人，你进不了这个阶梯，你就休想做这个阶梯的工作，所以，数学的应用，已经渗入到各个领域，今天，我就讲这么多，谢谢诸位。

问：您在这里能不能给我们大家介绍一下，您是怎么样做您的工作，您的治学经验，以及学数学的一些方法，可不可以？

答：那么，刚才我给大家念了华罗庚先生的四句诗，他就讲，数缺形时少直观，形少数时难入微，这个话讲得非常深刻。在我做学生的时候，我曾经亲自听过华先生几次讲座，他讲的时候，就教导我们一定要把它联系其他，同时要把这个东西搞得非常透，搞得非常直观。那么，你才能学好，而我们现在，常常是从逻辑出发，实际上前面并没有消化就讲后面的了，所以，无论从学习来讲，从教书来讲，都应该把知识弄得更彻底，更简单。更明确，更直观，和生活的联系更密切。

问：我们现在教的数学就是叫做一条鱼，给它烧中段，头是什么样的没有看到，尾巴是怎么样的也看不到，只给学生介绍鱼的中段，所以，我在讲课当中，学生就问我，老师这个东西有什么用，以及这个东西，你怎么想出来的？

答：我们讲逻辑讲得多，讲直观讲得少，我们只讲定理的证明，不讲定理证明是怎么发现的，也不讲定理当初是怎么发现的。那么，历史上，我刚才提了很多，数学大定理的发现，它都不是逻辑的结果，都是猜测的结果都是实验的结果，你解个例子，比如哥德巴赫猜想，任何大于6的偶数，都是两个奇素数的和，任何大于9的奇数，都是三个奇素数的和，这是很著名的，大家都知道，那么这个就是猜测的结果。作为一个定理成立不成立，现在还没有证明。比如说，还有在自然数当中，我们知道有些数很特殊，比如素数，三五七都是素数，换句话，它只能被自己和一除尽，被的数除不尽，那么，素数在自然数当中，到底占多少？这个问题是很深刻的。我们看看大数学家高斯他怎么处这个问题的高斯他就算，十之内有几个，100之内有几个，1000之内有几个，他真算，算了之后，他从这个数据当中，来找关系，到了契比舍夫，他证明了。，那他是在前提算的基础上，并不是什么人一下就想出一个奇妙的公式来。

但是我们现在上课追究完美，不愿意讲这些东西，也不讲数学家在获得这些真理的艰苦奋斗的过程，我觉得应该讲，为什么？这样讲的话，就使得同学可以增加勇气，知道就是那些大人物，大数学家，他们证明一个定理也要不花不少辛苦，不是他的天才，坐下在那儿一想就出来。不是这样的，也花功夫的，那么对于培养同学们自己去克服困难，发明新定理，这是非常有利的。

问：张老师，我想问一下，您讲的几何数学和我们现在中学学的那个数学有什么联系？

答：我们现在中学讲的几何就是欧氏几何，就是过一点，只能做一条平行线和底下平行，在这个基础上，得到几何学，我们在中学里没有讲非欧几何，我觉得，这应该是一个缺陷，当然是在初中讲高中讲这个我们不好说，据我所知，国外是要讲非欧几何的。因为，认识一个事物，是要靠比较，只有一种，你就不知道它好在哪？而且，欧氏几何，的的确确还有很多值得研究的地方，还有值得改进的地方。如果我们把欧氏几何讲成一个完美无缺的东西，这个东西，一是不符合事实，二是对学生的成长，是不利的。反而觉得会变成一种崇拜了，而不是钻研有什么不足，我们怎么改进，事实上欧氏几何有什么东西是值得改进的。它不研究乱七八糟的东西，云彩什么样的树什么样的，这种乱七八糟的它不研究，但是这是真实的现实世界，那么到了上世纪70年代，又诞生了个新的几何这个几何叫分形几何。

它就专门研究云彩，树枝，闪电，就是各种各样奇奇怪怪的形状，从这些形状中，包括我们的视网膜，我们的血管，这种复杂的形状，而这种几何又非常有用，我以为我们中学里应该适当地介绍分形几何。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第3讲 数学与我们的生活（胡作玄）

数学是一个我们费力很多，但是，好像所得甚少的这么一门科学，因为，大多数人，比如说要义务教育就是读9年的数学，要高中毕业就要读12年的数学，你要上大学里面，无论你学理公还是经济管理，又要学数学，所以，每一个人他的数学教育，花在数学上的时间是非常之长的，可是，现在，反过来，就是你在平常日常生活中，有没有用到数学。这些数学是不是有用，对你有什么帮助？好像就是不像其他的基础课程，那么明显。因为，从近代欧洲教育来说，就叫3R，有的人翻错了就是读写算对吧？这个从小学起就要读写算，读写算，就是这三个是基础课。现在，我们这个大学入学考试，也是要重点是三，这个三其实也是读写算，只不过读写这两个是学语文，或者外语，而数学又放在一个非常重要的地位。可是，你学完了数学以后，对数学究竟有多少了解，这个是不太可靠的，就是说，你平常用不到数学。我觉得，好像比如说，有的学会计的，他也要学三角，我就不知道，会计的时候，什么时候算过三角，就是这样。所以，你学了三角以后，在什么地方用不大清楚。

所以，总有这样的情况，第二个方面就是说，你学了数学以后，你学的数学，说了半天还是300年前，或者更早的一些知识，你对于近代的数学，是否有了解？那么，一般，很难了解。因为，比如媒体上讲，哥德巴赫猜想，好像哥德巴赫猜想就是数学。可是，你究竟对于现在的数学有多少了解呢？不仅仅一般人不了解，就是数学的专家，也对于隔行的数学也并不是很了解。

这种情况，正好跟其他的科学，恰巧成为一个鲜明的对照，这种对照就是非常明显，因为，即使就是一般老百姓，只要稍微注意一点科学或者技术的发展，都知道，你现在，比如这个微机，网络，网络比较普及的时候，只有几年的时间，那么你再说，比较近节是最近，也是比较普及的东西，激光，激光，什么时候有的呢？1960年开始第一架激光器。还有基因组计划，也是80年代开始的这个一般了解科学的，克隆当然更普通了，97年开始的。这个大家知道，干细胞，98年才有，纳米技术也是90年代才有，可是，你要问别人，数学有哪些成就，你知道90年代有哪些成就吗？大多数不仅普通人不知道，数学家也不知道，换句话说20世纪数学有哪些成就？一般人也不知道，20世纪有哪些重要的数学家？你要知道物理学家你当然至少可以举爱因斯坦，或者是波尔，海森堡，薛丁谔，你还知道几个，但是，你数学家你知道谁呢？不知道。

所以，数学经过了这么费劲的教育，可是，你自己的知识和在日常生活的应用是非常之少，这个是一个矛盾，这个我们应该怎么理解这个问题？我们讲数学与日常生活之前，我们首先要谈谈，这个到底，这数学，现在有用没用？还是说，就是300年前那些学的算术代数了，最多到微积分就完了，我们说，我们首先要有这么一个概念，现代数学是非常重要的，而且，对于你现代的科学技术起了决定性的作用，不过，数学是一个幕后英雄，用一个平常常说的话，成功男人的背后，总有一个做奉献的女人，这个当然我可以反过来说，成功女人的背后，那么，数学起什么作用呢？你现在有很多的成功的科学技术，但是，数学呢是一个幕后的英雄，我现在想把这点，这就是20世纪的一些重要的成就，我们稍微提几句。

数学最重要的成就，当然，首先是数学家的成就，那么就是20世纪最重大的数学家之一就是叫做冯诺伊曼，冯诺伊曼也有译成纽曼的。当然，我们现在这个计算机已经是换了好几代了，但是它程序设计的思想，确实是冯诺伊曼给出来的，所以，人们常常称冯诺伊曼是电子计算机之父，而且，现在，常常说，你现在，还是冯诺伊曼型的计算机，冯诺伊曼因为翻译不好，有人翻译纽曼，这个我想大家还知道他的名字。那么冯诺伊曼实际上，是一个很伟大的数学家，他的计算机的成就只是他的1/10，可以说，冯诺伊曼是十大武功俱全，就好像乾隆似的，还有一个很重要的成就就叫做，大家都知道的就是叫做博弈论，应该翻成对策论，比较正确。因为对策论现在已经是一个，而且好多经济学家，就因为在对策论上面的成就，拿诺贝尔奖金了，所以，像冯诺伊曼这样的数学家，他就给出来一个计算机的设计思想的最基本的东西，而且，到现在没有太多的改进。唯一一点改进的就叫做并，并行计算，直接翻译就是平行计算，并行计算，并行计算的意思，也是冯诺伊曼的。

所以就是说，数学家，他所做出来的贡献，好多人当然就是说，当然也有很多工程技术人员，物理学家这些人，在计算机方面发展了做出不可低估的贡献，但是，整个的思想，冯诺伊曼是可以说是第一人。第二个例子就是说，影响20世纪，当然现在大家好像感觉到了，战后最重要的一件事情就是核战争了，害怕打核战争。
当然，最初，美国做核战争，做一个核武器，做原子弹和氢弹，当然，在做氢弹的物理学家化学家，还有好多重要的其他的科学家是主角。但是，做一个像原子弹这样的一个技术，没有数学行不行？就光靠你实验，错误实验行不行？这个你要翻开历史，你就发现，数学家在这里面起了很多作用，因为，比如做氢弹的时候，当时的物理学家就有这么一个估计，就是说，氢弹不能做出来，因为，氢弹要爆炸的话，就要把整个地球的大气要燃烧。整个地球都毁了，如果真正这样的话，那么你氢弹做不成。这样，你验证这个观点和否则这个观点，你都不能靠实验，我做一个氢弹试试看行不行，也可能就是说，你完全不知道，在完全不知道的情况下，数学就要起作用。

就是说，经过一些数学家的计算，他说没问题，不至于引起整个大气的燃烧，这样，在做原子弹的时候，你要做多大体积，它怎么样一个爆炸的方式，你也不能实验，而是完全靠数学的计算，当然，中国的情况我不太知道。这就是美国当时做这个原子弹的时候，在开始的时候，都要经历过，你不能做实验的时候，你就要靠数学了，这就是说，靠理论了，这是第二个例子。

第三个例子就是说，现在经济学是一门险学，因为，大家经济上是非常重要的一个科学了，经济上，当然，现在90年代最热门的经济的理论就是叫做金融数学。金融数学，就是说，你怎么投资了，你要把这个股票这些东西。在股票的研究方面，正好100年前，就是1900年，有一位大数学家，叫做庞加莱，他是20世纪最了不起的一个数学家，他，是最早所谓混沌，好多人都知道了，名词混沌，他最早，100多年前，他就知道混沌这种情况了。只不过现在开始炒作，把这个东西炒热乎了。那么，他有一个学生，就叫做布特朗他就研究股票市场。他研究股票市场的时候，已经知道，这个股票市场，就跟布朗运动完全一样，而现在的布朗远东是最典型的随机过程，这个随机过程理论，当然是现在概率论里面一个最最重要的一个方面，现在的金融，更加用一些随机的问题，随机过程的理论，来研究，因此，设计出来许多所谓叫做衍生的金融产品，衍生的金融产品，现在在国内没有，只是在70年代开始，在美国就开始交易了，就是说，它不是说，具体的交易股票，而是股票的指数，或者是期货，期权，甚至于说你的合同，你应该怎么样交易，你想一个合同就是一张白纸，你到时候可以买这个股票，那么这个，合同，值多少钱？这个就是数学金融里面最重要的问题。

就是说一个合同一个和约，你购买权利，你怎么能够定价，因为你现在，比方说我买一个桌子椅子可以定价，可是，你买一个合同，你怎么定价，这就是比较要用到很多很多，概率论，现在的概率论最新的东西就叫做随机数学了这些东西。

说到经济学，当然就有整个一套经济学理论，20世纪最了不起的经济学家就是凯恩斯，凯恩斯首先最重要的贡献，就是引进了所谓宏观经济学，那么，他的老师，就叫马歇尔，马歇尔他们都是剑桥大学，英国剑桥大学，数学系毕业的都是的数学系毕业的，就是说，像真正的好的经济学家都是做了很多在数学上有很多基础的。

再说一个例子，就是我们常常说的CT，CT就是一个透视的方法，现在已经很普及了，CT是你怎么样通过每一段切片，合成出来一个整体的图象，这个是一个很难的数学问题，可是，这个数学问题，早在1917年就被拉东解决了。通过上面的例子来说明什么呢？就是说，数学是一个很的开放的领域，它还是不断地进步了，而且，这种不断进步，形成了一个非常丰富的资源，这个丰富的资源就摆在哪儿，你在某一个适当的时候，你就可能从这里面，发掘出来很重要的东西。这些就是说，数学走在你科学技术发展的前沿。这种现象，就说明了，数学在20世纪，已经跟以前不太一样了，数学已经成为了一个实现的诸葛亮，而不是一个事后的诸葛亮。

现在，对于一般老百姓，或者一般企业的决策人，总的来说，你就不是真正研究数学的人，这些人，数学对他有什么用？我想就两点，一点就是说，你设法有办法，能够利用数学这个整个的资源，就是你要有一定的向导，能够带你到数学的领域里转一转，你不必知道细节，你知道大致的数学里面，搞的是什么东西。这是一方面。第二个方面就是说，通过数学，使得你的思想方法有一个进步，我想，就是我下面随便举两个例子，来说明你的日常生活里面，你如何用数学的思想方法，其实这个就是说，你往前迈一个台阶，你往前迈一步，那么，你就会有许多收获。有的时候，你也可以不必上当受骗了。前不久我们开会，有人就知道，我是学数学的，他说，现在这个彩票，投奖你能不能想办法，你是不是能够知道，下次这个彩票的号码是多少？我就可以，，至少你可以证明，数学是不是有道理？

无独有偶，我还在参考消息上看到了，就是墨西哥有一个老太太，他很信任墨西哥总统，她说，我欠了300万，墨西哥大概是比索吧，我欠了那么多的债，总统先生你能不能告诉我下一次彩票号码是多少？这个是代表了，其实说了半天，当然，第一个是开玩笑的，我就回答说，假如我要知道这个号码，我自己就买了。我就不告诉你了，所以，我说，比如买彩票这种事情，我想，数学家，是不是能够通过这里面发财是不可能的，那么，数学家知道的是一个总体的现象，而一般人只关心他自己个别的现象，这两个是非常之不同的。我这个先说，彩票太复杂，我先说掷骰子，数学家研究概率论，并不能够，他就想赌博，他就能够，因为，概率论来源于赌博，这个也不必在乎它出身不好，但是，它形成了一个很大的科学，但是，概率论所考虑的是所有可能的情形都考虑在内，而不是考虑怎么样赢这个是两码事情，所以，概率论能告诉你的就是说，你掷一个骰子，掷一点，掷二点，掷三点，掷四点掷五点，掷六点那么，你不是掷成这个点就是掷成那个点，假如，这个骰子是均匀的，那么，你掷出来每一个点的概率是1/6，这是一个很简单的办法。

但是我们有一个假定，假定这个骰子是不作弊的话，那么这就是说，叫等可能性原理，就是概率论里面一个等可能性原理，实际上我们默认的假定，那么现在就说到彩票了，我不知道彩票的大致规矩，反正就是说，它是36个球摆在哪儿，然后，出来7个，但是还有一个是第8个，反正你要得到这7个号码，跟这7个球的数码一样，那么你就得了一个最好的奖吧。是特等奖还是一等奖我不知道，有的彩民就说，我买了好多次，为什么老不中？那我就知道，我就跟你说，这个，你的这个彩票，实际上是就是说，你在安排的过程中，有一个假定，假定你每一个球都是处于一个等可能性的状态，但实际上，所有的球不能完全可能，它的因素太多了，凡是因素多了，我们就不能够完全推断，当然，这些彩球是符合牛顿定律的，完全是决定性的，这个没有什么，不像量子力学，是非决定性的它是决定性的但是，这个决定性，由于它的差别，你无法确切地知道，所以，我们中间有一个假定，我们假定它是基本均匀的，它可能有误差，我上回有一次，听见广播里面说，差0.04克，反正就是说，差一点。但是，你这样，有一点差别，我们也是说，你是等可能性的，如果是等可能性的条件下，你就很容易算出来它的概率，大约是800多万分之一，这个概率你要下一注你可以赢，这个800多万分之一什么概念，就是说，你就是非常之少的这么样可能性。

那是我并不是说反对这种，因为这是一个好事，如果是比较保险的话，那么就是说，如果你确实也有人中了大奖了，你拿几百万，你中了大奖，可是你要不去赌这个你就什么也得不到，这个是可以告诉你的，但是，数学家能告诉你什么呢？就是说，如果，你要想一定中，有的人说，我花了8万，我怎么也没中，你用了8万才是0.5％的概率，概率只是0.5％，我们假定是800万分之一多，你在什么情况下能够中呢？必中，那么，你就要花1600百万买所有的号码，那么你必然就中，数学家只能告诉你这个。

还有一个问题也是挺有意思的问题，就是说，我现在，我这一个号码，比如说，1、2、3、4、5、6、7，因为这1、2、3、4、5、6、7，好像你看这些号码不大容易出来，但是，如果你按着假定的等可能性原理，那么，1、2、3、4、5、6、7跟你说，2、4、15、16或者怎么样32，这样，7个球的概率完全一样，就是说，你要有这个概念，所以，你就可以设一个号，我还有一个办法，我设一个号，我老是这个号，那我就每一次我都用这个号，那么你是不是到了一定的时候，你就碰见这个号，按说如此，但是不是说，第一个回合，就要说，你经过了800万次以后，你就能够等到这个也是概率论，这个就是一个随机过程了，所以说，数学家只能考虑这种可能性多大，那种可能性多大，而不能够说，你这一个号，因为你在汪洋大海里面你只是一种，所以，数学家的思想方法是这样的。

还有一个就是说，数学家对量有一个概念，过去，阿拉伯有一个君主，他有一个宰相，这个宰相，他立了很多功劳，他有很大的功劳，那么，国王就说，你要什么赏赐，那么这个宰相就说，你给我一个棋盘，当是的棋盘是这种8×8的这种国际象棋的棋盘，差不多是这么一个情况，你8×8就64个窟窿，这第一个格子里面，你给我放一粒大米，咱们就说大米，一粒米，第二个盒子你放两粒米，第三个盒子你给我放四粒米，就是每一个格都乘2，那么，第四个就是8粒米。于是这么放下去，到了最后一个格子当然就是2的63次方那么多。这2的63次方，就是把所有国家的粮食都搁到里面，也不行了。这就是一个指数增长，这也是一个等比级数，是指数增长的一个情况，这样我们就是说，假如你听到传销的这个问题，为什么它是骗局？到底完全跟象棋的道理一样，你现在为了方便起见，一个人发展10个人，你第一个人就是说，始做传销的人，你总觉得你这一个人发展10个人，他有多少利润，当然就是说，各种不同的人，我一个人发展10个人，第一个人就是10得零次方，你发展10个人，十的一次方，可是你要10个人再发展10个人那么就是10个二次方，你发展到10个三层四层五层，你就是十的5次方了。10的5次方是多少？10万人，10的6次方，100万人。这样呢，你要在一个局限的范围内，不管你是一个小县，还是一个很大的地方，没有几个，所以到四五层的人，他就根本传不下去了。就不可能传了，当然这个利润都给了上头的这个人了。但是，它到四五层，按照指数增长了，它到一定程度，就根本不可能再往下走了。就没有多的人，让你去发展。假如8层那就是1亿人了，那就是中国的差不多1/10的人，可能吗？根本不可能，所以，他的想法，当然你好像再往下传，但是，这个指数的增长，就跟你这个一个一个的增长不一样，一个米，两个米，三个米，四个米，这个等差级数，指数增长是如此之快，以至于你不可想像。这就是为什么好多人的传销上当受骗，到了一定的级它就不传不上去了，你只能往上传了。往上传当然人家不干，你只能往下传，往下传你就没有办法。所以，你倾家荡产，就只能这样。

这个就是你日常生活里碰到的，所以，并不是说，要求你学了什么数学的理论，而是说你要有一个数学的思维方式，往前走一步。

数学的最重要一点就是数学是一个精密的科学，这个大家都知道，精密的科学，就要求，你这个概念是什么意思，你要清楚，否则的话，你就是一个名词在那儿炒作，名词炒作，实际上你讲了半天，云山雾罩，那么，你是什么也没有。你可以糊弄老百姓，但是，实际上，就没有任何一个意义。就是你的语义不含有任何的意义，这个我们常常在广告词儿里听到，就是非常之多。广告里头，最多就是说，我这个产品呢，高科技含量50％，或者55％，给你还有一个小数点，55.98％，可是你这个首先什么叫高科技含量，不知道。你不是这55.98％，另外那部分叫什么呢？叫低科技还是什么呢？所以这个话，就迎合一般人，首先是一听是高科技，就眼睛一亮，还有一个就是说，对数字特别迷信，如果我14.56好像精确得不得了，一定靠得住，这完全是谎话。有许多时候，尽信数还不如无数，就是说，有许多这样什么，你说有这个数跟没这个数效果完全一样的时候，有的时候根本没有用是吓唬人的。

还有一个常常说，我以前是讲，因为药物的广告特别多，我以前是讲祖传秘方，我这个药，药到病除，一针就灵，反正，诸如此类的这些话，现在呢，当然比较高级了，就用到所谓数字了，实际上是用到数学的概念了，就是说我这个治愈率多少，有效率多少，45.8％，98.57％，那个是83点多少，这个83点多少，怎么来的？你可能不知道。如果我俩人，我一个治好了，一个治坏了我就说，我有效率，50％，而且这个治好的人是不是靠这个药治好的还是自然的就好了，你都不知道，你就听着50％，或者说，俩人都有效，你说百分之百，你这个所谓百分数，你取样是在一个什么集合之内，还有，统计上面有很多规则，不是说，你随便说的，所以，这些地方，不要不精确的语言，你这个数学家就要抠一抠，你这个意思到底怎么样，你这个数字怎么来的。那么，这个，是数学家的思维方式。就是说，你平常的训练有这个思想方法。

当然有一些我们就是说，平常，要抠一下，我们常常现在气象，报下雨的概率20％，40％，60％，80％，下雨的概率，是有20％的可能性下雨还是说，我在这个地区，一个不定的地区，有40％的地方下雨，当然不是这个了，我就是说。还有说，你有40％的时间下雨呢？所以，这个，就光说，下雨的概率有40％，这句话，实际上，我当然不是说，否则气象台的这种说法，但是，要抠一抠这什么意思。也就是说，它的意思无非是这样，你要是说50％以下下雨你可以不带伞，可是你要说80％、90％要下雨，那我出门就要带把伞。其实，目的就是说，或者你要有什么东西需要盖住，或者你不要洗衣服等等，实际上就是给老百姓一个参照的数字，可是这个数字只能说大概不太精确。所以，你就是说，只能作为一个参考，当然，幸好就是说，这个气象预报，也不是绝对的准确，就是说，因为有好多其他的原因了，它不像行星的运动，现在，即使行星的运动，也不像以前的牛顿力学是决定性的，那么因为有混沌这种概念，连天体的运动，原来说，天体的运动是决定性的是就是说，我完全可以精确地确定，比如行星的运动在哪儿，那么你现在，也有混沌，说不定，比如说，小行星降到地球上面来，究竟有多大的概率，那么，这个东西，不能只算概率，但是我们如果只能得到概率，那么就是概率。也只能够供大家参考。

如果说，小行星或者很小很小的小行星，靠近地球了，将来，真正跟地球相撞，这个是大事了，这个全世界都要出问题的，所以这些问题就是说，你要在每一种情况，你应该都能够对于数学要有一个概念上，要有一个抠一点，这个是学数学的一个思想，不要看见数，有了数就信，有以它为指导你的生活工具。那么这样就作出决策了，你就是比较成问题了。

最后，我就想谈谈，你怎么样通过数学上第一个台阶，我想就是说，现在再说，最后的总结，就是数学帮助你，先在你的思维方式上，上一个台阶，上一个台阶就是说，我觉得，主要先有四个方面，第一个方面就有数量的观念，但是有误区，第一，你这个数，确实是不是反映它的本质特征，就是有好多数，你比如说，现在，好多人说，人心不古，这个道德方面不太好，那么就有人说，道德值多少钱一斤，道德这个东西，就很难用数来衡量了，有好多东西是不能用数来衡量的，第二，用数来衡量，你要适可而止，不能说，你小数点后面，有多少位数，没用，对于指导你比如说概率，你刚才说，下雨的概率，是39.53％，这后头数目毫无意思，所以，你看，现在大家比较喜欢预测经济增长率，美国经济增长率，预测今年增长2.5％，现在2.1％，也可能到1.5％就是两位数，还差不多，两位数来不准的，那后头那位有什么用呢？这就是说，你对于数量的观念，要有一个正确的数量的观念。

第二就是说，刚才说的确切的含义，数学上每一个东西，它怎么来的，应该是有一个确切的含义，有好多东西是一个含糊不清的，特别是吴文俊先生得了奖以后，有好多人说，我这个东西是拓扑的，用拓扑方法怎么样怎么样做，我这个产品，你看看能不能支持什么的，这个就是说，他懂什么叫拓扑吗？恰巧我还懂，我说你用拓扑进行计算那么，你应该得到用什么拓扑方法，有多故意唬你，就是要把确切的含义讲清楚。

第三个就是叫做合理的思维，特别是合乎逻辑的思维，第四种就是要有一个简化的方法，就是说，数学家总是要考虑你的把复杂的东西，如何变成一个简单和的东西，并不是说，为简单而简单，而是你的脑筋里面盛不了太多的东西，你的脑筋里面能记住东西，实际上是人脑记住东西有限的，并不能够你把什么都记住，所以，把比较复杂的东西变成一个简单的东西。我看大宝有一个广告，这个广告说词说得挺有意思，他说，把复杂的东西变成简单的东西，贡献，把简单的东西变成复杂的东西，是累得慌，大概是这么说的我不记得了。确实是如此，因为，人现在生活在一个很复杂的世界，你要想什么都知道不可能，但是，你应该有一个把东西简化的方法，这个在数学里面，有很多。

比如说，平常我们常常说的优化，你要怎么样，投资，投资就是说，你不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里面，这就是优化，优化的方法，这个在数学上都能够证明的，你差不多把这层概率，信息论里面都有这个东西，都是这种方法。这种简化的方法，其实，从小学一年级人家就学，一加二加三，加到100你要是傻加，你就是一个复杂的方法。复杂的方法，你就要用一个比较简单的办法，你要处理不是这么简单的问题，当然你要用一个简单的办法，高斯就用很简单的做出这个东西。但是，你要是注意到，这个简单的东西，数学家还有一个问题，什么叫做数学的简单，数学的简单就是说，跟常人说的简单不一样。

数学家把这个事情分成两个部分，一个部分是繁的部分就是这个做事做起来非常繁但是很常规，那么就是说，你可以机械和，这个就是吴文俊先生讲的把数学有好多东西可以机械化的东西，你机械化，凡是可机械化的东西，数学就认为你已经知道了，而把你的头脑主要放在那个难的问题上面来。难的问题上面，就是说，最重点的最核心的，最困难的东西，你要把它重点放在这个上头。凡是已知的，我们数学家就不再重复了。

所以我觉得，你在日常生活里面，确实有很多地方大家也这么做了，而且，尤其你要做公司了，或者你做各种东西，做决策的时候，你只要在你的思想方法上，往前推动一步，这样，你就可以有很多的收获，觉得数学还是挺有意思的。不要去念大书，念大书，我倒觉得不见得对你有效，所以呢，我就是说，你这个数学，要首先学会它的思想方法，第二你要能够怎么样能够通过你交谈了，或者通过你各种情况，你能够利用这个资源，因为，现在有好多资源确实在那儿，但是你不知道你还是不会用，今天就讲到这儿。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第4讲 二十世纪数学的发展趋势（李文林）

我想20世纪的数学，主要的是三块，三大活动，一块就是纯粹数学的扩展，纯粹数学也是叫做核心数学，上级也就是抽象数学，第二块活动就是数学的空间的应用应用数学的空前蓬勃发展。第三块活动就是计算机跟数学的相互影响，这个三大活动构成了20世纪数学的主要线索，我今天主要也就是按照这三大活动，来概括20世纪数学的发展，其中，我先讲纯粹数学。

纯粹数学是19世纪的遗产，按照罗素，英国大数学家哲学家罗素的说法，就是说，19世纪，有一个可以跟蒸汽机的使用等等电气的使用可以相提并论的一顶桂冠，就是说，纯粹数学的发现，他认为，纯粹数学主要是19世纪的产物，20世纪，纯粹数学得到了巨大的发展，纯粹数学这个前沿在20世纪不断的挺进，而且，产生出很多令人惊异的成就。

比方说，我们大家都知道的哄动一时费马大定理的证明，这是300多年了，一直在前几个世纪都没有解决，但是，20世纪解决了，还有四色定理也是有100多年的历史都没有解决，但是在20世纪被解决了。那么，其他大家可能有的听得比较少的向连续统假设在某种意义上，在一定程度上，也在20世纪被解决了，还有很复杂的节是有限单群的分类定理，也是20世纪很大的成果等等，所以，20世纪引出来一系列很惊人的成果。

跟19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展，表现下面这样一个特征跟趋势。也就是首先，就是说，更高的抽象化，第二个特征或者叫趋势，更强的统一性，第三个趋势是更深入地对基础的探讨。我后面两个特征，实际上，本质上也是属于抽象化，所以我今天重点还是谈谈20世纪纯粹数学里面更高的抽象化这样一个趋势，那么，抽象化本来是数学的固定的特征，那么，20世纪的抽象化它跟以前的数学发展有什么不同呢？我想20世纪数学的抽象化主要是受了两大因素的推动，一个就是集合论的观点，还有一个是公理化的方法，这个是跟过去的时代是不一样的。那么，集合论的观点，我们知道，集合论本来是德国数学家康托，为了使得分析微积分严格化，而产生的这样一个分支，那么，康托是主要的代表人物，但是，康托的集合，主要是指的数的集合，或者点的集合，那么，后来呢，经过其他数学家，比如说，法国的弗莱歇，他们把集合论加以发展，发展成推广成为任意元素，这个集合的元素可以是任意的对象这样一个抽象的对象，就产生了一般的集合论，抽象的集合论，这个抽象的集合论，后来被发现，是数学各个领域的一个很有用的语言。它可以在数学各个领域里边作为一种通用的语言来描述数学的一些定理，来建立一些概念。

另外一个是公理化方法，我刚才说，20世纪纯粹数学抽象化趋势受第二个推动的大的因素，公理化方法，德国数学家，20世纪也应该算是可以数在前头的一位，赫尔曼外伊他说过这样一句话，他在总结20世纪上半世纪数学发展的时候，他说过这样一句话，他说，20世纪数学的一个十分突出的方面，是公理化方法所起的作用的极度增长，以前他说，公理化仅仅是用来阐明我们所建立的理论的基础。但是，现在，他却成为具体数学研究的工具。这是赫尔曼外伊的一个看法。

那么，20世纪的公理化方法的奠基人是德国数学家希尔伯特，希尔伯特大家都可能知道他在1900年国际数学家巴黎大会上，提出23个数学问题，因为这个很有名，但是，希尔伯特有很大的重大的贡献，其中有一个就是他提出来，新的公理化方法，那么，公理化方法在欧几里得几何里面已经有了，在公元前三世纪就已经有了，整个系统是从公理定理开始，然后在这个基础上，建立证明推导很多定理，这就是所谓欧几里得的一个公理化系统，欧几里得的公理系统里面有一条公设叫做第五公设就是平行公设，过直线外一点，能够，而且只能作一条直线，跟已经知道的直线平行。这个公设在这个公理系统里面就显得很特殊，几千年，数学家们一直在问，这条公理，好像他们从直觉上感到跟其他的公理不一样，他们就希望，就问能不能从其他的公理或者定理来证明这条公理，一两千年这个问题没有解决，可以说两千年吧，一直到19世纪才有人发现这条公理是独立的。也就是说你换成另外一个公理，把它欧几里得公理全部保存，欧几里得公理都保存，就把这一条平行公设改成过直线之外可以作不只一条直线，跟原来的直线相平行的话，你同样可以推出一套数学几何来。这套几何本身，也是可以有它的定理，而且，看其他好像也没有什么矛盾。那么这样一来的话就使得欧几里得几何公理的体系就引起了人们的研究，就觉得欧几里得几何公理系统的逻辑结构，还不是很清楚。

那么，希尔伯特他经过了大量的研究以后，提出来一套公理化方法，他这个公理化方法，区别于欧几里得的主要是两点，第一点就是他提出来，对公理系统比较要提出逻辑要求，他提出来三条第一条这个公理系统，必须要符合一种叫相融性，或者叫无矛盾性。这什么意思呢？就是你这个公理系统里面的公理，不能够相互矛盾。你从有些公理推出来一些相互矛盾的公理，当然从逻辑上，你这个公理系统就是不好的。就不行的。这是叫做相融性，或者叫做无矛盾性这是很自然的一个要求。

另外一个要求，他提出来这个公理系统，必须要符合一种叫做独立性，也就是说这个公理系统里面不应该有多余的公理，什么叫多余的公理就是说像他们怀疑的说欧几里得第五公设可以从别的公理推出来作为公理立在那儿就是多余的。所以，要把它去掉。但是后来他们发现证明了欧几里得第五公里是独立的它不能从其他公理推出来，因此它就可以作为一条公理，独立地放在这个公理系统里面，所以这个公理系统的独立性是他提出来的第二个要求。第三个要求就是公理系统不能缺少公理，少了公理，有些东西推不出来。这个叫做公理系统的完备性，他提出来公理系统的三条逻辑要求，就使得人们对公理系统的考察，有了逻辑根据，这个是对整个数学的严密性一个很大的贡献。

他的公理第二个推动数学抽象化趋势很大的特性，就是说，公理系统里面的对象，他研究的对象，是抽象的。不是像欧几里得的几何里面它这个公理系统的对象就是具体的点线面，那么他认为，这些公理系统的对象，本身的内容并不重要，重要的是这些对象，按照他的公理里刻划的相互之间的一些关系，比如说，距离，或者是线段的大小，这样一些东西的话，这些性质的话，他是要用公理来刻划的这些性质关系是本质性的至于说这些对象本身是点也好，线也好，面也好，他说过一个笑话，一次在火车上，碰到另外一个数学家，人家问他，你的公理化系统是什么意思？能不能简单地给我说一下，他开了一个玩笑，他说，你可以把点线面，换成桌子，椅子，啤酒杯，然后它照样符合这些公理，那么它照样可以成为你这个公理系统的研究对象，这当然是一个笑话，大家听起来会感到荒谬，但是，我往后面讲到的时候，大家会感到这样一种思想，增加了数学的抽象性，同时也提高了它的可用性。这是希尔伯特对数学公理化方法的特点。

那么这样一个公理化的方法，跟康托集合论的观点，经过发展的集合论的观点，朝向的集合论的观点结合起来，就推动了20世纪数学的抽象化趋势，使得20世纪数学在更抽象的道路上，高度抽象的道路上发展，而且，产生了导致了四大抽象学科的诞生，这是跟过去的数学不一样的学科。一个叫做实变函数论一个就是泛函分析，还有一个是抽象代数。第四个是拓扑学，这样四大抽象学科的诞生，而这四大抽象学科，所产生的一些概念，方法，定理它们又渗透到数学已经有了其他的学科，像数论，是吧？实变函数论，代数，几何，概率论，等等，微积分，很多其他的分支里面，就引起了这些分支的变革。那么这样就形成了20世纪抽象数学一个很巨大的潮流。

我想我们还是按照我们经典之道的分析，跟代数还有几何这么三个领域来看一看，我们比较熟悉的领域来看一看，20世纪纯粹数学的发展，引起的概念上的一些变革。在分析领域里面，我想，20世纪开门红的一个成果是叫做勒贝格积分。这是在1902年，当然它完成实际上是1901年就做出来了，1902年发表的，勒贝格，法国数学家，叫勒贝格积分理论。这个积分理论引起了积分概念的变化，这种变革表现在什么地方？

就是说，过去在19世纪的积分，一般我们叫做黎曼积分，这个黎曼积分，我们学过微积分的就知道，他是把数，数轴横轴上面就是函数的X轴上面的线段，积分区间把它分成很多小的区间，N个小区间，每个小区间取一个点，在这个点上取函数值，这个函数值，跟区间的长度相乘，然后求它的和，然后，让N趋向无穷的时候，你得到一个积分，定积分值，这个叫做黎曼积分，这是这种积分就一个缺陷，就是它对一些非正常的或者我们叫怪异的一些函数，或者叫病态函数，当时的数学家把它们叫做病态函数，这个积分就没法积，为什么？你在每一个区间上求一个点，求一个函数值让它和要有极限的话这个函数不能太坏，如果这个函数在那儿蹦来蹦去的话，那你这个极限就会是不一样的按照它的定理这个积分就不存在。

比如说我们举一个通常知道的病态函数。在0跟1这个区间上在所有的有理数的点上，这个函数等于1。在所有的无理点上它等于零这个函数你就不可能去按照黎曼函数给它积分这是一个病态函数。那么这个但是这些病态函数还有很多其他的病态函数，这些病态函数在数学家看来是病态的，但是，在物理学里面，很有用。所以它们的积分是数学家们关心的怎么样把原来的积分概念推广，使得它能够适用于这些病态的函数，那么，勒贝格解决了这个问题。

他的想法反过来，把这个区间划分开，不是划分自变量，X轴的这个线段，而是把应变量函数值，取值的这样一个值域，把这样一个区间把它划分。那么在值域上划分的时候，大家可以想象它划分出来在X轴上相应的自变量点的分布，可能会很乱。它不是一个线段，那么这个里面，怎么样求这样一些集合的长度呢？勒贝格积分的推广是以推广长度为基础的，就是说我们知道长度，我们过去都是对线段，就是一个线段，连续的线段，我们可以量它的长度，定义它的长度，那么很多线段加起来那也可以定义它的长度，现在，勒贝格，在勒贝格之前，法国就有一些数学家，像波莱尔，他已经把长度的概念推广了。满足一定条件的集合我们可以定义它的长度，这个长度的定义是你原来的欧几里得空间里面这样一个线段的长度为基础的。以它为基础，来推广对于某一种程度的集合，我可以定义它的长度。这个长度的概念，后来数学家们就把它叫做测度，比方我刚才说的有理点，在这个数轴上面是无穷多个。所以，有理点形成的集合它可不可以是测量它的长度？这个问题在过去的话你就没法量，按照勒贝格之前，就波莱尔他们发展的推广的长度的概念，就可以说，这个集合的测度，它的所谓的广义的长度是0，而无理数的点也是无穷多个分布在数轴上面，在0跟1之间。比方说，无理数有好多个但是它不连续，任何一个区间里面都会有空档，这个空档就是有理数把它刨掉了，那么这个线段长短，按照过去经典长度概念，也是不能测量的但是现在有了测度概念以后，就是广义的长度概念以后，可以说这样一个集合，0跟1之间的无理数的集合的长度是等于1这样的话他把长度的概念，就利用集合论的观念，我刚才一开始说了，集合乱的观点是很重要对于抽象化。他利用集合论的观点，把长度的概念，从通常的欧几里得长度推广到更广泛的集合上面去。

对于一些不连续的，很奇怪的一些看起来杂乱无章一些电视机集合可以去定义它的长度，这样一来的话，积分的概念推广就有了基础，这样的话，法国的数学家勒贝格就把积分的概念，给推广了。推广成我们现在叫做勒贝格积分，勒贝格积分就使得一些病态函数我们可以建立积分，而这些函数的积分我刚才讲了，在物理学里边很有用的。当然这种推广，我想20世纪它是一个开门红。

那么，勒贝格积分的话，我刚才讲了，包括长度概念的推广，跟积分概念的变革。而它们的变革又引起了导数还有函数概念一系列的变革。所以，建立了一门新的微积分，就是在这样勒贝格积分的基础上，建立起来的微积分叫做实变函数论，在实变函数之前出现的分析叫做古典分析，我们习惯上就把勒贝格积分以后的分析叫做现代分析。那么，它引起来的一个进一步的变革，想很重要的是函数概念的变化。

函数经典的定义，就是说，应变量和自变量之间的对应，一种对应关系，那么现在我们定义函数的时候，用所谓映射，映射的观点，这个映射这个观点可以说是函数概念的一种推广，这个映射就是说，对应的关系可以不一定是数，它可以是一个集合有的抽象元素的集合，到另外一个集合的元素之间的对应关系。这一种对应关系就是一种映射我们现在叫映射，这个映射，实际上是函数概念的一种推广。它使得这种对应关系，可以推广到一个任意的抽象的集合上面去在代数领域，我想，它的变革，我想也是非常重要。而且我想这个变革也影响了整个数学的其他的分支的，这就是说我们代数学，在17世纪以前，或者说在19世纪以前，我们基本上是研究方程，解方程，或者是我们说是研究数跟数之间的运算，运算这种运算它关系有什么性质，比方满足什么交换率，满足结合律，分配律，我们研究这种性质，这是初等代数。或者说19世纪以前代数的主要内容，到了19世纪以后，由于法国数学家伽罗华，提出来群的概念，那么这个代数学就逐渐地发展，变成了讨论不是数跟数之间的运算，而是一些抽象元素之间的一些运算的关系，而这些运算，符合一些性质，那么这些性质是用公理来描写的这样一个研究代数的方法，我们现在所谓代数结构，这是现在数学里边用得非常广泛的一个研究的方法，后来这个代理结构的研究方法，又被推到整个数学里边，产生一般的数学结构，这就是法国数学家学派，一个数学家集体了，叫做布尔巴基学派，它把抽象代数里边的这样一个代数结构的观点，引申到研究整个数学结构，一般的数学结构，他提出来，除了代数结构以外，还应该有拓扑结构。还应该有续结构。

就是发展到用一般的结构的观点，来研究数学。

那么这个结构的观点研究数学我想它的本质还在于它的公理和这个公理化方法引进到代数里面来，引起了整个代数的面目全非。20世纪面目全非，那么这套方法，作贡献最大的是布尔伯特的一个学生，一个女数学家，叫艾米诺特，可能我们听说过，她在哥庭根领导了一个代数学派，这个代数学派对我刚才讲的说代数结构，抽象代数的发展，起了奠基性的作用。20世纪代数领域，它不再是研究具体的数之间的运算，跟他们的性质，而是研究一般的抽象的代数结构，这个代数结构什么意思？就是有一个集合这个集合里面有一些抽象的元素，这个元素里边，定义了一种运算这种运算也可以类比成加法也好，类比成乘法也好，也可以定义几个运算，但是这些运算之间要满足一定的关系一定的性质这个性质是用公理来刻划的用公理性质来刻划的，这就是我们今天研究抽象代数的一个方法，我讲起来大家可能会感到抽象但是它的用处是非常的广泛，下面我就进入到比较容易讲的几何领域。

我们来看看几何领域20世纪在一些基本观念一些概念上有什么变革，我想欧几里得几何的这种绝对的空间观念，用6个字来描写，这个可能不太恰当，但是我想比较直观，就是三维的，或者你在二维一维考虑的时候，那就不能超过三维，三维的平直的不能弯曲的刚性的，就是说你这个任意，你研究几何学它的空间任意两点距离你管怎么挪，它是不能动的不能变的不能拉长也不能缩短。那么，我想，大概欧几里得几何大致上可以用这6个字来说。在实际应用，我刚才讲了，非欧几何，对欧几里得的第五公设提出怀疑以后，提出来的非欧几何的发展等等，已经把欧氏集合的框框已经开始打破了。

可以这么说，19世纪后来几何学的发展，都是沿着非欧化的这个路线发展的一个是把三维突破成高维N维，我们欧氏几何一般研究现实空间三维，那么在19世纪已经突破到N维，研究高维的空间，那么，平直的这一点，我想狭义的像罗巴契夫斯基几何也好，罗巴契夫斯基几何就是一个双曲的一个弯曲的集合这个空间是弯曲的它不再是平直的所以，非欧几何的发现，实际上把这一点也给打破了。

那么关于刚性，我想最简单的例子就是摄影，摄影几何它的发展，实际上摄影几何两点之间的距离是不再保持不变的，那么它是要变化的。但是我想对于刚性这一点，最大的突破，是在20世纪，我先讲这个维数，在20世纪，我刚才说了19世纪几何学从三维突破到N维，20世纪有没有什么变化呢？20世纪我想我们的几何空间，已经从两个方向突破，一个是产生了无穷维的几何这个无穷维空间，就是在刚刚说的分析的变革上引起的。就是我刚才说的函数，这个集合，实际上是一个把每一个函数看成一个点的话那么它是一个集合，这个集合可以看成一个空间，那么，其中有一函数的空间，它实际上是无穷维的它的维度，如果你一定要用维数的观点来刻划它的话，它是无穷维的。

我举一个例子，这个无穷维空间的概念，是希尔伯特刚才讲的公理化方法的发明人，希尔伯特提出来的。他在研究积分方程的时候，提出来，就是由无穷多个实数组成了一个组，A1A2一直到AN，一直到无穷，这样一个每一个AN都是一个实数，这样无穷多个实数放在一起，它看成一个元素，看成一个组，一个元素，那么所有这样的元素的集合，它在这个集合上面定义了一些运算，定义了运算以后，他认为构成一个空间，把每一个这样的元素看成一个点构成一个空间，这个空间的维数是无穷维的所以，希尔伯特这个无穷多个实数构成的集合的全体是第一个无穷维的一个空间的一个例子。那么所以后来他的学生就把这样的空间叫做希尔伯特空间，希尔伯特空间在20世纪物理学数学里面，到处都在用。无穷维这是无穷维。

后来，实变函数的发现就发现这个函数空间，就是刚才不是讲勒贝格吗？所有的平方所有的函数如果把它平方以后，能够求勒贝格积分的所有这样函数的全体，跟刚才讲的无穷实数组这样一个全体的集合是等价的是可以一一对应的。也就是说所有这样的函数的全集，构成的一个集合可以看成一个无穷维的空间这样的话就把空间的概念，从有限维N维推广到了无穷维这是一个方向。

另外一个方向突破的维度概念取得突破的是20世纪后半叶发现了分数维。就是说，空间的维数不尽可以是有限的维，不光三维，可以是N维，高维这在19世纪就已经知道了。那么到了20世纪还可以有无穷维，现在，数学家们发现，空间的概念还可以推广到分数维，关于分数维这个空间的几何，就叫分形几何这完全是20世纪新建的一门几何学。

在20世纪，我想拓扑学，这样一个新的学科，就刚才我讲的四大抽象学科当中的一门，它实际上是对刚性欧几里得集合里面空间里面刚性原则一个最大的突破，那么经过这样一种变革，空间，概念本身，就发生了很重要的变革。就是现在20世纪数学家我们现在的数学家心目当中的空间，它是一种抽象的结构，就是我刚才讲的一种结构，也就是说空间是一些集合，是一些元素的集合这些元素是抽象的它是什么我不管它，而这些元素之间有一些关系，这些关系是用公理来刻划的。这些例子就说明20世纪数学抽象的趋势，高度抽象的趋势。
那么数学这种抽象的性质是跟它的另外一个特写，所谓广泛的使用性，多用性是紧密相联系的。数学它正因为它有它的高度的抽象性，所以，它才有它广泛的实用性，数学的广泛的用处正是从它抽象的特性来的20世纪数学高度抽象化的发展，说明了它数学这种抽象化的特征，跟它的广泛的实用性特性之间的联系是比以往任何时代都更加密切。更加深刻。也更加复杂。更加奇妙。那么在20世纪数学的应用跟以前的时代有什么不一样的呢？我想主要也是表现在三个方面。

第一个方面就是数学的应用它突破了传统的范围，像人类几乎所有的知识领域渗透。那我现在，我只要举一下在20世纪发展起来的一些的数学应用到其他的学科里边产生的边缘分支，我想就能说明问题，20世纪我可以列举出来的交叉的分支有像数学物理，这是物理，数学在物理里面的应用，还有我们有数理化学，化学里边现在用的不是简单的一元二次方程，而是很复杂的微分方程，还有很多是数学家本身都没有办法，感到束手无策的非线性微分方程。还有数理气象学，现在的气象预报也是建立在数学的基础上的。我想大概如果没有数值分析的话我们现在不可能有这么精密的天气预报。

剩下来还有数理考古学，我们现在考古也用到很多数学。第二个特点我说，纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，我说这是双向的刚才说的是数学几乎向所有的科学技术或者人类的知识领域渗透，第一个方面，数学的几乎所有的分支都参与了这种渗透至于它最抽象的部分，比如刚才说的抽象代数，我刚才就没有能够再深入地往下面讲，抽象代数的确是非常抽象，但是它在20世纪找到了它的应用，抽象的群论跟抽象代数在物理学里面，我在我们描写自然界的对成现象里面，是有广泛的用途的。那么，我说最抽象的领域除了群论，还有像数论，数论，就是研究自然数的性质，我们的哥德赫特猜想就是这样一个数论问题。那么这个数论有什么用呢？是不是光是自然数之间的一种游戏呢？智力难题呢？不是的。

数论所以它在现代的编码理论里面有非常重要的应用，另外还有就是拓扑学，就是所谓的橡皮泥集合，它是有很具体的应用，比如在生物学里面，有我刚才没有讲的就是说，我们在50年代发现了生物的高分子结构，是一种螺旋结构，双螺旋结构就是它的较分子是两个分子链在里面相互缠绕，这叫双螺旋结构，那么，从数学来讲，就是两个封闭的曲线，或者叫无穷的曲线它怎么相互传导，这种正好在拓扑学里面有个分支叫做纽结理论，就是专门来研究绳结的理论的。两根绳子，或者几根绳子相互缠绕，打结，那么它缠绕的情况不一样就会影响到分子生物学的特性所以它就很重要，这个正好拓扑学里面有一个分支叫做纽结理论就是专门研究这种东西的。那么所以，后来有一些数学家也参与了就是说，用纽结论的方法来计算高分子链就相当于两根曲线，它们相互缠绕的所谓缠绕数，这样一些拓扑学的指标，那么，得到了这些数字，就可以对高分子的结构，有一些认识。从而也就可以对高分子的性质有一些认识，这就是非常抽象拓扑学在生物学里面也是有广泛的应用的。
这是就我说的纯粹数学，几乎所有的分支都获得了应用。包括一些最抽象的分支。

第三个，就是说，20世纪数学空间广泛应用的特点就是说，现代数学对生产技术的应用便的越来越直接，我说的是直接，我刚才讲了，数学的应用，有的时候要拐弯抹角的，是曲折的不一定说你今天发明了明天就有用，那么这种应用呢？在20世纪，应用的频率跟周期是越来越短，应该承认这一点。就是说，比方说我举几个例子，刚才讲的拉东积分它很快地就被用到了CT扫描仪里面，那么我想还有小波分析，也是近代最近多少年在调和分析基础上发明起来的，它集合一发明，人们就发现，小波分析在通讯，还有计算机图象压缩，什么这些里边有很重要的应用，它是一种分析，数据分析，还有在石油勘探里面也有广泛的应用。那么，我这儿就是说几个对比，来说明数学应用周期的缩短，当然这个例子大家可以举出说，你这个可能会有很多反应，但是我想多多少少能说明问题我说一下：

我们知道，圆锥曲线是在公元前4世纪，希腊人就已经发明了，圆锥曲线，椭圆，双曲线，抛物线，但是，这个圆锥曲线在2000年当中，应该说是没有什么太多的用处。没有什么太多用处的它的最重要的应用是到了17世纪，开普勒发现了行星的运动规律，三大定律，就发现行星运动的轨道是椭圆，也就是说是椭圆曲线当中的一种是椭圆。那么后来，牛顿从数学上证明了在这样一个引力的定律之下，在他的牛顿三大力学的定律之下，退出来的行星的轨道，必然是一个椭圆，而且对椭圆曲线用微积分的办法做了很多研究，所以，椭圆曲线一直到2000年以后，应该说才知道找到了它的重要的应用。

那么非欧几何是1830年左右发明的。就算用到广义相对论里面是1915年差不多一个世纪不到。而麦克斯韦方程，我们知道是1864年发明的，1864年英国数学家，物理学家，发现了描写电磁波理论的麦克斯韦方程，根据这个方程，他预报，有一种波存在就是电磁波，电磁波当时是不存在的不知道。那么，麦克斯韦是根据他这一套抽象的数学方程预报，预言我们自然界存在这样一种看不见的电磁波，到了1895年，这个中间不到半个世纪就30年多一点吧，这个马可尼跟波波夫，当然他们之间有一些争论，到底谁是发明人，但是，差不多时候吧，1895年，他们发明了第一个无线电报，就是真正找到了麦克斯韦根据他的数学方程预言的这样一个电磁波而且把它变成了无线电报，这中间是30多年。

还有刚才讲的无穷维的希尔伯特空间理论，用到量子力学跟光谱理论里面，我们知道，希尔伯特空间理论是1912年提出来的，量子力学的完成是1927年，这也是很快就找到应用这么抽象的东西，拉东积分是1913年我刚才讲的用到CT扫描里面是1963年到1969年，我想，大概数学在实际当中的应用，这个生产当中的应用它会越来越直接。频率会越来越快，这个我想是一个趋势。还有最后一个特性，数学在向外渗透过程当中，产生一些相对独立的应用学科这些学科它并不是像生物数学，数学物理一样，数学光是应用到物理里边，光是应用到生物里边这种独立的学科，比方有数理统计，运筹学，控制论，可以举出一些来，刚刚讲的这三个是最重要的。那么这些学科它有自己独立的方法，数学方法，它应用的范围也不光是一个学科它可以比较广泛。

那么这三个学科的发展我就具体不讲，这个没有时间讲，我特别讲讲控制论，控制论是在二次大战的时候，为了解决打飞机，这样一个问题，用高射炮，或者我们今天就是导弹打飞机，我们知道飞机在天上飞，我们可以算它的位置，但是我算出它某一个时刻，T时刻的位置以后，比方T1时刻的位置，我地上的炮弹或者导弹，我不能就打一个炮弹，打到T1这个位置，这个飞机还在往前动，所以我需要预报预测这个飞机的位置。在下几个时刻的位置，然后使得我的炮弹调整一个发射的角度，使得我们炮弹跟飞机在某一个时刻能够在天上同一个地点，同一个位置上面相遇，这样才能打到它。这个所谓预报问题成为控制论的一个主要来源。它的主要发明人奠基人是美国数学家维纳，诺伯特维纳。

今天这个控制论用处就非常广泛了，讲到控制论，我想中国人也有贡献的。控制论的创业，就是说，维纳他在创立控制论前夕，在中国，1936年，呆过一年，在清华大学。他后来写了一本自传，他把他在清华大学呆的这一天，说成是对他的控制论的创造有非常重要作用的一年，这一年当中，他跟很多中国数学家交谈过，也跟其中一个中国的工程师，叫做李郁荣他们密切或作，后来第二次世界大战以后，李郁荣因为在上海他非常困难，抗战的时候，维纳又把他请到德国，在麻省理工学院做教授。他应该说在控制论的发明当中，也起了一些作用，我刚才讲的是数学的空前的广泛的应用。在20世纪一个很重要的四大特点。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第5讲 温故知新话几何（姜伯驹）

我们通常讲数学是研究什么东西，通常都有这样一种说法，就是数学要研究数量关系和空间形式，就是数和形，那么这个形，当然就是几何了，几何我想我们大家都有这么一个共识，就是的几何是研究我们的生存空间各种形状，各种空间里面的各种事情，所以我想今天从几个方面来说一说，第一个，我想说一说几何学跟当代技术的一些关系。第二方面想说一下几何学在数学里面所起的作用，第三个方面，想谈一谈几何学和数学教育里面的一些问题，因为我们这个是个数学教育的一个论坛，这个也是必须要正面地谈一谈的事情。

所以我想先说一说几何学和当代科学技术的一些关系。大家现在都很熟悉，我们现在讲高技术是什么意思。或者高科技，或者高技术是什么意思。那么也有一种，过去一种形象说法叫高精尖，过去想象不到的很多事情，现在都可以实现了。那么在这个里头，我想，当然牵涉到几何的问题很多因为我们人就生活在我们的空间里头，是不是，你什么事情你要做得精确，那你就得要空间关系就要把握得好，那么，现在比如说，高技术里面，一个很时髦的一个问题，一类型问题叫做成像问题，什么叫成像问题呢？那就是说，你们可能比较熟悉的例子，就是医学里面的叫CT，不知道你们是不是听说过这个词，但这个是一种检测手段，比如说你生了病，然后就怀疑里是不是身体里边长了东西，那么这个东西，就有很多检测的办法，比如过去叫做B超，拿超声波，B超就是拿超声波检查一下，看你这个身体里面有没有什么硬块，因为硬块对声波的反射比较强，所以，这个B超查身体里面有没有肿瘤，但是，现在比如你牵涉到特别是牵涉到脑子，一些很细致的部分，现在一种新的技术叫做CT，CT实际上是X光的办法，但是，把你身体里面立体的信息查出来，现在这种探测手段在医学上很重要，除了拿X光以外，现在很多很多新的手段，比如什么核磁共振，正电子扫描等等各种各样新的检测手段。

怎么样通过这个检测手段所得到的这些数据，能够还原出一个空间的三维立体的一个图象出来？闹清楚你身体里面到底是什么问题？这个事情就是要求很精确的，甚至于精确到一个程度，比如说，脑子里长了一个小瘤，精确到一定程度，你就可以用一些杀伤性的射线，你可以从几个不同的角度，聚焦到你生病的地方，或者长瘤子的地方，把它破坏掉，你如果定位不准确，结果就把你好的组织损坏了这个事情也很严重。再说，你比如说现在地质勘探，勘探地底下的情况，你要找石油，石油怎么能够，石油的油矿，或者是天然气的气体，怎么样才能够生成？大家知道，油当初是怎么样生成的？或者是古代的生物，或者是怎么样的一种过程，生成以后，问题是生成以后，怎么样藏得住，你要有一个，好比底下有这么一个拱，这个是比较不太透气的岩石，那么那些油气，比较轻，藏在这个地方，这样子，才成为你可以开采的油矿或者气田，然后你在这里打一个洞，这个气体就冒出来。对不对？但是，你如果没有这种构造，如果是这样的情况就跑了，所以你得闹清楚这个地底下，有多少这种构造，而且这种构造要在地质演变的过程里面，没有被破坏掉。因为你如果说，你这种经过一次地震给它震了一下就裂了，裂了以后这个气油就跑掉了。

还有一些问题。你比如说，现在我们经常讲，现在要研究人类的DNA遗传的信息，或者研究蛋白质，那么这就要研究一些大的生物的分子，生物的分子除了比如说，DNA，我们通常讲遗传密码，遗传密码有四种核苷酸，四个字母排成的长列，你要把密码，把这一长串码子理出来以后，它还有一个问题这些链条，是在空间里面是怎样放置的这个放置本身就有很大的问题，因为这个事情，好像是一个DNA的分子，好比在人的DNA分子，就好比几十公里长的一个钓鱼丝，放在一个篮球这么大的东西里头，你想放进去，中间一定要自己缠绕得很厉害，才能放得近期，如果是这么长的一根钓鱼丝放在一个篮球里面，你要把它抽出来，平常我们的经验就知道，这个东西抽出来很难，因为它可能搅在一起，细胞分裂，一根线要变成两根线，然后这两根线还要分到不同的后代里，一个细胞变成两个细胞，细胞核，每一个染色体要分到分裂以后的两个细胞里边去，那这个事情，也有问题及也有这种几何上面的问题。

再有你比如说，现在在化学上面，化学上面我们知道，化学的分子，它也是生存在空间里面的。我们化学里面都有化学键这些概念，你知道一个化合物它里边有好比这里面一个分子里面有多少个氢多少个氧，多少个碳多少个氮，这些东西，然后这些东西又是怎么连起来的大家知道有什么化学键这些东西，但是，你除了谁跟谁连以外，整个这么一个架子，怎么样摆在三度空间里面，这个东西，也是一个大问题。所有这些问题，实际上都是现在高新技术对几何学提出的一些挑战，各种各样新的问题，要我们去研究，所以我今天我想我花一点点时间，我来说一个问题，就是作为一个例子，来说明一下。就是我们会比如像CT它到底提出的是什么样的数学问题什么样的几何学问题。

CT首先我不知道你们有没有人去接受过这种检查，我不知道有没有，它实际上，它是你好比一个人躺在这儿，好比我要了解他这个整个人，或者是他某一部分，不管是脑袋里边有病，或者是身体里边有病，你就比如某一段，我信把它里边的形状再现出来，实际上，CT所做的第一我刚刚说了它CT用的是X光，是基本的物理上面的东西。就是跟我们拍透视片子是一样的事情，它首先是一层一层来的，实际上是把你的身体看成一个一个截面，它要在每一个把你一个截面搞清楚，在这个平面的一个部分，你是里面什么地方比较密，什么地方比较软，或者是这个成分有什么不一样，一层一层地给它搞清楚，首先这个仪器是这样的，你人躺在那儿，机器先在这个地方给你做一点，拍一些照等于说，然后再把你往里面送一点，然后再拍一些照，再往里送一点，所以它实际上是一层一层做的在每一层做什么事情？每一层的事情可以看成是一个平面的问题，那么，平面上的问题，你如果说，我是考虑这个平面上的事情那么等于说，我这个身体的截面是平面上的一个图形，普通我如果是这个方向，拍一个X光照片，那也就是我在每一条垂直的线上，我看我碰到了一些什么样的组织它吸收了我多少的X光线，这一条一条线，那么，现在它要做的事情不单只是这样，不光从一个角度，而是从所有不同角度，从这儿照过来，从这么照下去，斜照下去，反正都在这个平面上，所以这个事情，你放到图上来讲，你可以这样想。

就是说我在一个平面上，一个图形，我先简单画，先不说里面还有不同的部分，这个是我的一块肝里面还有我的一块瘤子什么的我现在先不说这么复杂，我先说这么一块东西，或者这么一个面积放在这个地方，那么，我刚才的意思是你本来普通照X光线，你是画很多很多这种直线，每一条直线上，你看看它你比如说，假如我们说，这是一块均匀的东西，它吸收多少X光线，就是跟这个长度成正比，那就是说，实际上我通过X光这样照相，我就了解到，这点底片上面给我们的信息，是这条线的长度，这点底片上的信息是这条线上的长度，那就是说，你一下子就知道了这组平行线，每一条线在图形上面截出来的长度是多少。那光是这一张照片，当然只是从一个角度去看，那么现在它这个CT的想法，就不单是从一个角度，我从所有不同的角度，再换一个角度，所有这些角度，这一组平行线上，每一条线上是多少，然后再转一个角度，另外一个方向去看。这一组平行线，截下来长度是多少，是不是所有的这些，如果我这个人躺在这儿，这个X光先是这么照过去，然后我这么转一圈，转到这儿为止，我就把所有不同方向的直线的信息都有了。告诉你，这每一根直线上，跟这个图形相交它的长度是多少，如果所有这些信息都有了，你能不能把这个图形画出来。

我现在说说几何学在数学里面的作用。或者说是地位，我想，通常我们都说数学三大块，当然是指数学本身，而不是应用数学。那么有三大块，一块叫做代数，够大吗？一块叫几何，还有一块叫分析。分析就是现在通常叫做的微积分。有这三大块，但是我现在要说一点就是说，这个数学的历史上面，很多的划时代的这种思想，这种革命性的思想，很奇怪的都是在几何里面发现的，我没有说完全不在别的领域，但是我要说是有很多划时代的思想，是在几何里面发生的我说几个给你听听，一个是公理化的问题，这个我呆会儿还要说，一般中学里面学的平面几何，就是有这个公理，要从公理里面来推导一些定理，这个大家都有一点体会。但是它的重要性这些东西我待会儿再说，再一个事情，无理数的发现，或者说实数，这以前我不知道，中国古代的属的概念，我没有仔细研究过，中国古代数的概念有没有这种无理数的概念，我想一般的我们都说一个长度，量地是尺几寸，或者顶多几分就完了，或者是我们当然古代也求圆周长，圆周长是多少呢？疏率是22/7，密率精确一点是355/133，这个大家都知道，你们知道这个叫做有理数，两个整数相比，你们知道叫做有理数，还有一些数字，不能用这个比表示的，这个事情我想，中国人过去没怎么讨论过这个问题。

那么，希腊人他怎么发现这个东西的？他发现这个东西的过程，实际上就是说，发现正方形的对角线的长度跟正方形的边长是不可公度的，就是没有一个小的长度可以恰好那个边长是它的一个整数倍，对角线长也是它的一个整数倍，这个意思有就是说这两个的比不是有理数。那么这个事情通过几何学发现的。因此当时就是希腊的开始数学是就发生了一次概念上的危机，因为最初他们认为数是什么？数就是两个整数的比，然后就发现对角线就没有一个数。是跟它相对的对角线的长度不是数，所以成了危机了，怎么解释这个事情？所以到后来，有人这个还是欧几里得以前，但是是毕达哥拉斯以后，勾股定理在希腊被叫做毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯其实是一个他对几何学贡献极大，他们把当时所知道的几何事，用公理系统办法整理出来这个事情主要是他们的工作，后来的欧几里得不过是写教科书，把这个东西写得更清楚，应该说，几何学的研究，毕达哥拉斯学派做的是比较重要的事情。

但是，毕达哥拉斯学派，认为，数是什么？数就是两个整数相除，比这个数叫做函数。所以他还建立是相似形的理论，什么东西，这个相似形的面积是面积之比，是边长比的平方这些东西，这些东西，全是用的现在要说有理数，那一旦发现了，无理数存在这个就变成它的一个很大的危机，很多很多东西都不对，甚至于当时有这个传说，说毕达哥拉斯学派里面有一个人发现了这个根号二，这个人，引起了如此严重的危机，结果他们有一次出海的时候，把他扔掉海里去了，好像就是异端学说引起他们的危机，但是这是一个必然的推论，如果你勾股定理要成立，我想大家可能都会知道，勾股定理成立，你怎么样整理，根号二不是有理数，所以，到后来，有有一个人叫做欧多克斯，他就想一个办法，来克服这个困难，他说，这样子，对角线长度不叫它数，还是承认数，是两个有理数的比，然后那个不叫数，那怎么办？叫量，量，就比数广一点，量还是可以有大小，量跟数还可以比大小。这样他要自圆其说。

但实际上，从现在的观点来看，以前他们数字概念，就是有理数，后来，才有了无理数这个概念，为什么一定要有无理数？完全是几何上发现的，所以，对于数的概念的认识，这几何是起的非常重要的作用。人对空间关系的认识，是一种本能，因为我们生存这个三度空间里边，对空间自然有它的反映，有个东西你扔过来，我一看近了，赶紧躲看，这个都是本能。你根本想都不用想，一个东西扔过来，马上就躲开，那么，对空间观念的把握，既然是一种本能，它在人的身体的构造里面，它就已经在里面了。我想人的感觉器官，眼睛，鼻子耳朵等等，但是，大脑里面，管这个视觉的部分是占绝大部分。也就是说这个视觉，提供的信息量是人对外界感知里面最主要的信息量，而这个感知的是什么东西？感知就是空间关系。所以，人对空间关系的认识，最直接，也是最敏感。

其实我们日常有很多很的话你都可以发现，是反映这个事情。比如我们常说一个话叫眼见为实，耳听为虚，这个话什么意思？这个话当然本身不一定全对，你眼见的也不一定实，人家耍一个魔术，你没有看清楚，这是另外一个事情，但是你总觉得你眼见的比较实在。我说一个人常常说话是一个人很聪明，很聪明，本来什么意思？聪是耳朵灵，明是眼睛灵。眼睛看得清楚叫明。就是这些都反映了这个事情，你耳朵听人说话，这是一串信息，有先后顺序的你一个字一个字吐出来，所以一个事情，一个数学的事实，你如果是给它一个几何的形象以后，你对它理解你觉得好多了，比如说你一个线性方程，你现在解释为一条直线，那么，线性方程的求解就是直线求交点。那么有时候两个直线可以平行它就没有交点，但是，你本来说从方程来讲，两个方程，你连接起来会没解，这个怎么解释？有些人也许会觉得，这个事情也有点费解，方程就应该有解，你这个方程又没有解。但是你如果有这么一个几何图形，你就觉得很容易理解。很多诸如此类的事情。所以，我觉得是，数跟形固然是联系的它也还是有一区别的而呢？我觉得人是对形比较敏感，对形象比较容易理解，这是人跟计算机一个很重大的区别我觉得是这样的。

计算机要处理数字，计算机处理数字的本领，比人大，但是，计算机要处理一个图形，比较笨拙，它要绕很大很大的圈子来处理一个图形，人恰好不一样，人是理解图形理解比较快，图形信息，大量的信息，一张照片，或者反映我一瞬间眼睛所能接受的信息都在里面这个东西，你要计算机去描写它是要费时间，一个一个点给你扫描一遍，这个是个费时间的事情。

而且现在还有一个事情，他们研究脑子生理的人，这个人的左脑跟右脑管的东西不一样，右脑管这个形象的角色，形象的思维，管这些东西，左脑更多地管语言逻辑这些东西。但是我们好像现在也有很多人在议论这个事情就是说，我们过去的教育，常常是锻炼人的左脑比较多，语言的训练，演算推理这些东西，但是，对形象的思维，这些方面可能开发得不够。所以，有人说，以后人类智能的进一步开发，当前一个大的问题是怎么样能够开发你右脑的智力。我信这个话，你们很多人也听到过。这个话里面，也是反映了我们过去对不管是在教育里面，在我们平常我们注意的事情里面，其实有一部分没有很好的认识，我觉得现在对几何学的重要性，刚才讲这个以及高可能提出的很多新的几何问题，提出很多新的挑战。同时现在对人的认识能力的研究，所谓脑科学的研究，也慢慢地注意到这种现象。就是这个人讲的，右脑的开发，右脑功能的研究，这些问题都提出来。这个东西，真是预示着几何学会受到越来越多的注意，其实现在我想，几何学是处在一个由于高技术的推动由于这些新的发展，几何学现在是处于一个振兴的时期，这是我自己的一种看法。

因为你在一个历史的发展过程里头，总是有很多的波浪起伏，现在我我觉得，几何学的重要性是比过去更加重要了。过去有一个问题，我觉得，至少，我当初在中学里面念数学的时候，念几何的时候，我现在回想起来，我一个问题是什么？就是发现几何学就是我小学里当然没有念过几何，一念几何就是公理推演，一下子就认为几何学就是因为所以，几何学就是这个，我所知道的几何的事实就限于这些已经证明的定理。这个事情，是把两个困难，揉到一起去了，放在一起，本来我们就没有学会按部就班地进行逻辑推理，本来你也没有知道太多的几何知识，你要把这两个东西放到一起，于是你觉得，走路就非常困难，你走一步就要摔一个跟头，你这个逻辑推理就不对。但是，任何几何的事实，你就不敢认知，你不敢去观察这个几何事实，你总觉得到处都是，或者随时可能出错，因为我觉得这个东西，我们教育上面，不单只是数学，有很多地方都是这样子，你想要先承认一个，先要有一个东西，先把你箍起来，然后，从它的这个眼里面去看世界，而不是说，你看见的世界，然后，你再发现望远镜还可以看得更远一点，不是这么一个过程。

但是，我觉得这块非常重要，为什么呢？现在，大家讲，要进行素质教育，或者说要培养创新的人才，创新，你首先就不能够迷信权威，你不能够人云亦云，人家说什么你就是什么，你要自己会想，那么自己会想，你怎么样培养这样一种习惯，这样一种能力，你说，逻辑，我觉得现在，你如果不学这些最基本的东西的话，你对逻辑不会有好感。你现在去看看，那些电视节目，什么辩论会，一个正方一个反方及不管这个事情怎么回事反正一个正方一个反方，公说公有理，婆说婆有理。因为这些事情太复杂。这个太复杂，你就很难把这个是非说得清楚。

电影里面还有很多所谓法庭辩论，也是的。好像是你请了一位大律师，他就本领高超一点，他就可以官司打赢了。这个世界还有没有公理，还有没有是非标准？好像是你听他们讲话，好像都是很有道理，都很有逻辑，问题就是你如果通过这种电视通过这些东西来理解，这个逻辑推理的话，你会得到这样一个印象，这个逻辑推理，就是巧辩而已。但是，你就不会体会到这样的逻辑推理，这些东西，本来是人认识世界的一个非常重要的一个很根本的一种东西。那么，你怎么样才能够培养这样一种观念？你就需要一个环境，这个环境里面是所讨论事情比较简单它的规则比较简单，它的是非也比较容易判断。你得要有这么一个环境，不是我们现在这个社会生活里面的很多环境。那种事情太复杂了。

那么说，数学特别是几何学，因为几何学的事情，你更容易看得见，你更容易去检验，你说，某三个点应该在一个直线上，那我画出来以后，不在一个直线上这个事情当然就不对，你随时可以做这个是非比较容易判断，你要有这么一个环境，在这个环境里面，你才能够培养起来这么一个，不单只要能够练习这种推理的当然不是说很简单的推理是简单的几步推理，这样的一种能力，而且，你要能在这个环境里面，培养起这么一个信心，就是说，你从一些最简单的看起来不起眼的一些事情出发，最后你可以发现一些你原来意想不到的事情。

几何是眼见为实，你本来整天看着圆就是圆，三角形就在这儿，你整天看，这里面还有很多事情，你意想不到的事情，你能够在里面发现一些，你粗看起来，意想不到的事情，你要有这么一个环境，我觉得这个事情，是在我们不管讲素质教育也好，讲培养创新人才也好，讲一种不迷信权威也好，这个是很重要的一个阶段，重要的传统文化里面，比较强调服从权威，我们的教育思想也是这样，你先要把这个语法先告诉你，然后你所有说话一定要按照这个语法，其实外国人说话也不见得那么按照语法对不对？人家照样懂语法是从这里面总结出来的某一些规律。一样的道理。

所以我觉得就是说，这种，有一块，这个推理的几何，是我们普及的教育里面，必须的一块，这一块，对于提高我们的同学的素质，对于一种创新人才的培养，我觉得是非常重要的一点，培养他的这种不单只是他能够判断事情，的一种推理的本领，而且，也使他形成这样一种信念，就是说，我们应该有每一个人是有能力从一些简单的事情，从一些已知的事情可以推断一些未知的事情，可以用这个办法认知世界，你要有这样的经验，这个经验在哪里取得？这个经验在这样的一种课程里取得，而几何学提供了一个好的舞台，而这个体系又是足够地简单，它的是非又比较容易判断，而它里面，又足够的丰富，可以里面学到或者是你自己甚至于可以发现一些，你原来并没有预料到的事情。

问：初中阶段，你是不是要首先建立这个观念体系？还是按照现在这个平面几何这样先教，再教立体几何这样合理？这两个体系，你觉得，哪种教育体系，比较符合中学生的认识过程？

答：我觉得还是应该先教平面几何，因为，立体几何里面有些空间关系更复杂一点不大看得清楚，开始的时候不大看得清楚。我刚刚说这段教学的目的是要使学生要能够从简单的道理出发，通过推演，能够推演要做一点，但是能够推演，而且能够推演出一些你第一眼看上去不明显，而且，但是又是容易比较容易判断是非的这样一些事情，这个我觉得在平面上能够做到。在立体不大一下子做得到这个事情。这个跟它原来知道很多立体的事情是两回事情，就是说，这个公理化的这一块，我们的教学目的要说清楚，不是说，我现在就是要第一次来认识这样一个事情，也许，比如说，三角形内角和180度，有些定理，可能你小学里已经听说这些事情，我现在的要点是什么？我虽然已经知道这些事情，我现在要把它理清楚，为什么会这样？为什么这样，根据几条最简单的道理，大家都承认的事情，然后我说，最后会这样子，一定这样子，这段学习的要点，应该在这个地方。本来它这个事情的历史的作用，也在这个地方，你本来这个欧几里得公理体系它不是说，以前不知道这些事情，完全不知道这些事情，不知道这些几何事实，并不是完全不知道而它就是要把它理清楚，它在文化上，在文明发展历史上所起的作用，而不是在它证明的某一个几何事实，这个几何事实多重要。不是在这个地方。我的看法是这样的。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第6讲 数学与天文（张顺燕）

观众朋友们好，同学们好，老师们好，今天我讲的题目叫数学与天文，这是一个非常贴合我们日常生活的一个话题，我想和每一个人都相关，我们知道，家家户户都有年历，也都需要一个年历和挂历，为什么呢？我们用了年历和挂历之后，就可以利用它来计划我们这一年的工作和学习。另外我们注意到，挂历上有两种历法，一种是农历，一种是公历，农历是我国人民的伟大创造，公历是古罗马人民的创造。我们这个年历既符合国情，又和国际结构，所以这是个非常好的历法，我今天就要讲讲这两种历法之间的关系。还要讲讲这个历法，我们的历法是怎么制定的。这当然是两个根本性的问题，这两个问题搞清楚之后，有关日历的许多问题都可以搞清楚，我的讲座先从一首诗开始。这首诗就是我现在写在黑板上的叫次北固山下，盛唐诗人王湾的，一首很有名的诗。这个诗是这么说的，叫客路青山外，行舟绿水前，潮平两岸阔，风正一帆悬，海日生残夜，春江入旧年，乡书何处达，归雁洛阳边。

这是写的王湾春节回家探亲在路上的感受。我们今天的目的不是从文学角度来讲这首诗，我们今天的目的是要讲这首诗所反映出来的历法上的问题。所以我们的中心点是在第三行，下面画着红线的海日生残夜，春江入旧年。海日生残夜好理解，就是夜将尽了，太阳从东方升起了，那么，春江入旧年是什么意思？这要大家考虑一下了，那么有的书上这么注，说，江南春早，已入残冬。说江南那个地方天气暖和就是春天来得早，这个解释，当然是一种解释，但是这种解释我觉得不准确，那么我们这儿看，江春入旧年，到底是什么准确的含义，我想这五个字里面，江春入旧年，里边出现两个节令，一个江春的春，指的是立春，立春是春天的第一天。江春入旧年的年，指的是旧历年的第一天。那么，江春入旧年是什么意思呢？就是说，在旧历年到来之前，或者说在农历年到来之前，先立春了，比如今年就是这样子，今年现在我们还是蛇年，按照农历还是蛇年，明年是马年，今年是2月4号立春，2月12号春节，那么，立春出现在春节之前。这就是江春入旧年。所以，今年就是江春入旧年。就是立春的时间是蛇年，不是马年。所以它的准确涵义，江春入旧年就是说，他在路上碰到立春，也就是说他离春节已经不远了，所以他要赶紧赶回家去。

那么我们考察一下，春节，和立春之间的关系，那么，我做了个统计，1976年到2000年，25年间，这25年间，立春在春节前，出现了15次，立春在春节后，出现了9次。立春和春节恰恰是同一天的，一次。这是1992年。所以，基本上来说，立春多数时间在春节之前。因而这五个字里面，提出两个节令，另外我们还有个事情值得考察，就是立春和春节，在公历里面应该是什么年？好我们查一下，我们发现，立春，在公历里的时间基本上是确定的。立春，基本上是在2月5号左右。前后不差一两天，而春节，不定，忽前忽后。这说明什么问题呢？这说明，春节这个日子，是按阴历定的，立春这个节日，是按照阳历定的。所以，这一句诗，5个字里面，表现了两个节日，同时这两个节日，代表了两种历法一种是阴历一种是阳历。所以，我想这样理解这句诗才是比较准确的。同时我们还看到，就是立春，和春节这两个节日，都是中国传统的节日，是2000年前就已经有了，那怎么立春这个节日，居然和公历符合得那么好呢？我们下边来回答这个问题。

下边我们来看第二个诗。写在黑板右边的叫别人。是初唐时王勃写的，这个诗这么讲的久客逢余闰，他乡别故人，自然堪下泪，谁忍望征尘。这就是说，他在外边作客，作的时间久了，想家了。所以，第一句诗，是我们讨论的重点，就是久客逢余闰。久客逢余闰的意思是什么呢？就是在外边作客，作的时间长了碰到两个闰年，这是几年？如果你不知道余闰是几年，你就不知道王勃在外边呆了多久了。作客作了多久了。，那么，余闰到底是几年呢？我们呆会来回答，那么在具体地讲历法之前，我们现在讲一讲一些最基本的知识就是日夜星辰是按照什么样的规律来运行。

著名的科学家伽利略说过这么一句话，大自然这本书是用数学语言写成的。天地，日月星辰，都是按照数学公式运行的。我们如果把它追溯得更古一点，古希腊的数学家兼治学家，毕达哥拉斯就说过，万物皆数也，宇宙的根本规律在于数学。所以，我们第一先讲讲，天文学的三个里程碑。天文学的第一个里程碑就是哥白尼的日心说，哥白尼就是批判中世纪认为，太阳绕着地球转那种错误的观点，指出，不是太阳绕着地球转，而是地球绕着太阳转，是太阳为中心，我想这是天文学的第一个里程碑。

第二个里程碑就是开普勒在1619年归纳出，著名的天运运动三定律。这个三定律是这么讲的，第一个定律，他说，行星在椭圆轨道上，绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上，现在我们把它画出来，这是地球，椭圆有两个焦点。这是一个焦点，我们把它叫太阳，当然，别的星，火星，土星金星都是绕着椭圆形轨道，绕着太阳运行的。太阳在一个焦点上，这里边我们顺便指出，这个圆锥曲线是古希腊人发现的。但是，发现都1000多年没有用处，知道开普勒知道天体运动是沿着椭圆形轨道。这是第一定律。

第二定律，从太阳岛行星的向径，在相等的时间内，扫过相等的面积。画出来就是这样子，说，行星，太阳岛行星这个向径，在单位时间内，扫过的面积是一样的。一个小时扫的面积和小一个小时扫的面积一样。这是第二定律，从这个定律我们可以看到，在这个地方扫的面积和这个地方一样的话，那这得走快点儿。对不对？得走点儿，因而我们可以看到，行星绕着太阳运动它不是等速的。那么第三定律是行星绕太阳公转的周期的平方，与椭圆轨道的半长轴的立方成正比。我们也画个图，好假定这是第一个行星，它绕着椭圆轨道，沿着椭圆轨道，绕着太阳转，那么它的半长轴从中心到行星，这个水平长度叫半长轴，假定是L1，另外一个半长轴是L2，假定它绕一圈花的时间T1，它绕一圈花的时间是T2，那么，开普勒第三定律说，L1的立方，比T1的平方，等于L2的立方。比上T2的平方。这就是开普勒三定律，开普勒三定律，把太阳系中行星怎么绕着太阳转以及转的速度等问题都解决了，正是在开普勒三定律的基础上，牛顿发现了万有引力定律，那么，万有引力定律，就是这样写的。宇宙间任何两个物体之间，都有引力，它引力的大小，与这两个物体的质量成正比，与这两个物体之间距离的平方成反比，这个呢，与开普勒三定律，利用微积分的知识就可以把它推导出来。说牛顿是因为苹果，砸到他的脑袋上，他就想到万有引力定律。这个事听一听当然很有意思，但实际上，没有微积分的发现，没有的开普勒三定律，深不可能发现万有引力定律的。

事实上，牛顿坐在树下，苹果砸他脑袋，当然，M1乘M2感觉出来，苹果越大砸得越疼。这可以感觉出来，但是，与R的平方成反比，这个无论如何砸不出来。好，有了开普勒三定律，有了万有引力定律，整个太阳系的运行，这个太阳系的规律就完全清楚了，这也就是说，日月星辰是按照数学定律运转的。有了这些定律，我们现在可以发射人造卫星，可以发射宇宙飞船，但是，今天我们的目的不讲那么多，我们今天就讲如何立法。
下面我要转向讲日历了，如何确定精确的日历？我们说，要确定一个精确的日历，有两个条件，第一个条件，要进行精确的天文测量。地球绕太阳一周，到底是多长时间，测量马虎了不行。我们古代不断地更加历法，其原因就在是测量的不准。所以，第一个条件是精确的天文测量，第二个条件是正确简单的计算方法。方法第一要正确，第二要简单。复杂了我今天在这儿就不能讲了，那么，咱们看看，正确简单的计算方法和准确的计算这两条就可以保证我们制定一个准确的完美的历法。那么，我们先说，准确的观察。

那么，地球绕太阳一周是多长时间呢？这时间是365天5小时48分46秒。这是多少呢？我们把它取四位小数，这个结果是多少呢？是365.2422。这应该加个点，为什么呢它不是最准确的但是2422已经够了这是准确的测量，地球绕日一周就是这么长。前面一个繁分数将来我要用它。这是制定。为什么百年一闰的依据就在这里。我们知道，我们日历两部分，一个是地球绕太阳一周还有月亮绕太阳一周，所以，另外一个非常基本的测量，就是月亮绕地一周是多长时间。换句话说从满月到满月，从新月到新月，满月，正月15就是满月，从满月到满月，新月到新月多长时间，这个我们把它叫做所朔望月，朔望月等于29.5306天。现在如果我们制定日历，安排大月，小月，我们现在有了依据了，因为我们知道一个月是多长时间了，我们也知道一年是多长时间好了，有了警觉的测量下边就是进计算方法，我们怎么来利用这两个数据，来算出怎么安排年，怎么安排闰年，对吧，所以下面我们就讲如何计算，如何制定历法。

因而呢，我们现在为了制定历法我们需要一些数学工具，什么样的数学工具？下面我们讲简单的工具叫连分数。连分数我们给一个例子，67/29，我们把它算一算，拿29除67得2余9。所以，我们这就得到2＋9/29，得到这个数，得到这个数之后，我们这么再算，看上去我们是在走着复杂的道路，但实际上我们就从中得到益处，我们把这个9翻到分母底下，1/29/9，变成繁分数，变成分分数之后，9除29，叫3×9＝27，上3余2，所以我们这就继续等下来，等2＋（1/（3＋2/9）），这个2/9我们还用刚才的办法，把它倒转过来，于是我们就得到2＋（1/（3＋9/2）），2除9，上4，余1，所以这个分数对我们得到这样一个分数，2＋（1/（3＋（1/（4＋1/2）））），得到这样一个分数，一层一层下来，这样的分数叫连分数。叫连分数。但是这样写呢？太复杂。这是一二三四层，如果有100层就不好写了，你老在拉那个分数线把它拉长，我们把它改写一下。改写成这样子。这个是加，我们还是加，2加上，但是，加这个都是在底下一层我们把它降下来。只有2在上面，底下每层都要降一下。每一层降一下，我在底下再加。这表示在分母上。好了我们得到个连分数，这个连分数和我们的天文计算什么关系呢？现在还看不出来。而且，连分数是把一个简单的事情复杂化了似乎，但是我们等一下就看到，连分数是一个非常好的工具，那么，连分数怎么求呢？我们这么求的先用29除67，有个余数，然后，再用余数除29，再有个余数，再用余数除9，是反复来除的。这就是我们在小学里学的辗转相除法。我把它写出来，我们用固定的格式写出来就这样的，这边是写67，这边写29。把这个除数和被除数写在两边，然后，拿29除67。上去是2，这是58，这剩9。然后，拿9除29，上3，3乘9＝27，余2，然后再拿2除9，上2，二四得八，余1。拿1除2，上2，这就除尽了。

这样，中间是那些部分商，这是大家在小学里学过的辗转相除，辗转相除虽然很简单，但是，很重要。要记住这一条，辗转相除这个格式，是我们中国人发明的。那么，除的结果，你看有什么关系呢？除的结果恰恰中间那一行就是部分商就是连分数里边的这些数就是2、3、4、2，因而，你想展一个分数的连分数，你就用辗转相除，除的结果中间的商写下来，这就是连分数，这是计算方法。

那么我刚才讲了，我讲连分数，把简单的事情化复杂不是为了数学上的利益，我现在的目的是为了计算天文学的历法。但是，光有连分数不够，我们还需要从连分数到历法中间需要个桥，这个桥是什么呢？叫渐近分数，什么叫渐近分数？就是我把原来的连分数截断，给这一截后面不要那就是2，这一截后面不要就是2＋1/3，这么截一次一次截下去，我们说第一个叫第一个渐近分数，第二个渐近分数，第三个渐近分数，第四个渐近分数，以后还有那就是第五个，第六个，所谓渐近分数，就是从连分数当中，从某一个地方砍一到下面不要，再把它化成繁分数。

比如刚才我们这个数，第一个渐近分数，看这个，第一个渐近分数是2，第二个渐近分数是2＋1/3＝7/3，第三个渐近分数，是2＋（1（3＋1/4）），这个是30/13。这叫渐近分数，那么，这三个分数，和原来的67/29有什么关系？关系就是2，7/3，30/13都是这个数的近似值，就是近似值，而且，一个比一个好。我们再给出个连分数展式，π的连分数展式，这里我顺便提一句，有理数的连分数展式，有限分数，一定是有限个。为什么呢？辗转相除几次就到底了。对吧？那么，物理数的连分数展式，就含有无穷多项，所以，π的连分数展式有无穷多项，那么我们把π的渐近分数写出来，就是从3那儿截一段，从7那儿截一段，这么写下来，我们就得到下面的数。第一个渐近分数是3，第二个是3＋1/7是22/7，第三个是333/106，第四个是355/113，我想，大家除了对第三个不熟悉之外，前三个都是很熟悉的，第一个，就是周三径一，对吧，第二是叫约率，355/113叫密率，这是祖冲之发现的把它展开把它突出来这就是3.1415929，和π的正确展式相比，精确到第6位小数点。这个记录领先世界1000多年，这是直到了16世纪，西方的数学家邦贝利，发展现代渐近分数的时候，连分数理论的时候，才超过了祖冲之。在这之以前，一直是祖冲之领先，这祖冲之怎么找到的355/113，他当数有没有连分数这个工具，我们现在不知道。如果不借助连分数的工具，找到这个数是非常困难的。

下边我再提提，我们看到了渐近分数一个比一个更加接近于原来的分数，这个接近的程度是什么程度呢？我把它叫做最佳逼近。是最好的。在什么意义下最好的？对π的近似值，在所有分母小于8的分数当中，以22/7最好，那么，355/113这个分数，是一切分母小于等于113的所有分数当中，以它和π的接近度最好是最佳逼近，没有比它更好，正因为它提出了最佳逼近，所以，就是用最佳逼近这一条我们就可以制定最好的日历。
好，那么我们现在再回到历法。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第7讲 一门应用广泛的学科——应用统计（上）

谢衷洁：什么是统计学？那么统计来讲的话我想有一个相当好的叙述，就是《不列颠百科全书》里面讲到的一句话，统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术，这里头来讲的话，首先统计学是一门科学，它的重点来讲是在收集数据和分析数据。那么讲到收集数据和分析数据，我们不是对一般的数据来进行分析，我们实质上只讨论那种具有随机性的那种数据，对偶然现象里面的统计规律性来进行分析的。另外一个，我们要指出来，收集数据是大有学问的，你是全体收集呢？还是部分收集呢？部分收集应该怎么收集法？那么针对这个一会我还会讲一些情况。如果你收集不好的话是会闹笑话的，而且你得到的结论也会是错误的。

那么至于谈到艺术，为什么讲这个艺术，我想，个人理解，这个艺术当是不是讲文艺里面的那个艺术，这个艺术来讲是科学里头统计学的技巧和魅力，这种技巧和魅力是和吸引人的，我想大概应该是指这个意思。好了，我们说偶然现象不仅普遍存在，儿童是有内在规律的，虽然你一次的观测的话可能它是捉摸不定的，但是你大数量的观察的话，它就会呈现一种内在的规律性。那么大家可以看恩格斯里头怎么讲这个问题的，说在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而问题在发现这些规律，我想经典著作家对偶然性来讲，这个阐述是很正确的。

好，我们从比较基本的问题开始说，就说这个偶然现象的规律性，偶然现象有规律吗？是的，是有规律的。首先说，什么是偶然现象，什么是偶然事件，我们数学上要有一个严格的说法。比较通俗一点也还比较严谨一点的说法就是苏联有一本很好的《概率论教程》，在这个《纪律论教程》里面这样讲，在一组条件组Ω实现之下，事件A可能发生，也可能不发生，同样的一组条件实现了，但是它可以发生也可以不发生，我们就管它叫做随机事件。那么如果在Ω之下，实现之下A必然发生，我们就称A是必然事件。那么Ω之下，A一定不发生，也有这种可能，一定不发生，那么A是不可能事件。一般来讲这两者之间都是互逆的，如果一个事件它是必然事件，那么它的反面事件就一定不会出现，对吧。如果一个事件是一定不会出现，那么它反面是一定要出现，我想这个事情大家很好理解。那么比方说，大家在中学物理里面学过，Ω是这样一些条件，纯水、标准大气压加热到100°C会有一个现象，沸腾，这是一定会出现的，所以它是必然事件。还有一个条件就是不重复的写出01到36的7个数，你去买体育彩票，你能中二等奖，我们说这就不一定了，可以发生也可以不发生，我想，这就叫随机事件。

好，我们特地要讲到跟偶然现象打交道的时候一定要让他确立一个信念，就是可能性大小是客观存在的，不以人的意志为转移的。那么我们度量这种可能性的大小有一个数值叫做“概率”，比方说从经验上来讲，我们可以问三个问题，第一个问题，任选北京10月份的某一天，随便选一天，它的最低气温小于25°C，这有可能发生，也可能不发生。第二个来讲，掷一枚硬币它会出国徽。第三个随机事件，任查街上一个人，他的心脏在右边。有没有可能？有可能的。好了，从我们的经验来讲，我们就会马上去说。如果第一个事件的概率叫P1，第二个事件它出现的概率叫做P2，第三个事件出现的概率叫做P3的话，大家一定会排出这样一个次序出来，人和人都可以排出一个次序出来。P3大概是小于P2，P2大概小于P1，为什么？因为P1凭经验来讲，到了10月份北京已经比较凉了，所以小于25°C大概总是没问题的，因此概率接近1，就是几乎100％。那么这个硬币大概是50％的样子，现在我问P3大家既然说有可能，那么我问P3是多少？大概大家很难回答这个问题，所以我们研究概率有一种方法就是讲从数据出发怎么来研究这个偶然现象。这种问题，我想大家知道投掷硬币出国徽的问题在历史上已经很多人做了很多实验，我想，从比较有名的实验来看有这么一些人，这些都是很有名的统计学家。一个是莫岗，他投掷2048次，出现国会是1061次，它的比例是0.516；蒲丰这个法国人他也做了投掷实验，他投了4040次，出了2048次，它的比例是0.505；皮尔逊，投过两次，一次是12000次，（国徽）出了6019次，它的这个比例是0.5016，他又做了第二次实验是24000次。大家不要以为24000次好做，每一次力要很均匀的投掷，这样24000次恐怕也是很累的，他投掷24000次出现了12012次，比例是0.5005。威尼，投掷30000次，出现14994次，它的比例是0.4998。所以大家可以看，随着n的增加，这个数值越来越接近于0.5，因此我们可以说出硬币的概率是0.5。如果你一定不说是0.5，我说出硬币的概率大致是0.4998，可以不可以，也是可以的，因为物理实验经常就是这样。好，这是一个真正实际投掷的实验，然后把它画成图来，大家可以看见这个比例，这个变化一开始的时候是很不稳定，随着n的增长越来越接近一条线，这条线就是0.5。大家回家就可以做各种各样的实验，可以做一做，比一比看一看，但是要投超过三万次才有意义，因为威尼已经投掷了三万次了。

好，我们概率的统计定义现在用来问这个，用概率的统计定义求出我们中国人内脏反位的概率。刚才不是问心脏在右边吗？王果涛医生在本溪钢铁公司职工总医院当中，他的一个门诊部里面调查，在他的96000名职工和家属当中，全部内脏反位的有27个人，因此我们大致可以说，中国人（内脏）反向的，位置反位的，胃也倒过来，心脏也倒过来这个叫做内脏反位。这种人他没有毛病的，他是很好很好的，我是1954年入学的，我们这个年级里面有一个400米的校纪录的创造者，他就是心脏在右边，我们透视的时候就发现他为什么跟别人不一样呢，他的心脏在这边呢，后来他自己才说，他本来就是心脏在右边。大概是96000人当中有27个人，大约是3/10000的样子，所以这就是一种很实际的问题里头来告诉你怎么去讨论一些概率的问题。

生男孩的比例，这个是很有名了，很多人在做，拉泊拉斯是一个法国的数学家，他非常坚信大数量的偶然现象当中有统计规律性，而且这个规律性一定是很稳定的，他很相信这一条。就是恩格斯刚才讲的那句话，有稳定的规律性，他对伦敦、彼德堡、柏林和全法国，18世纪的时候统计，计算出生男孩的比例大概是22/43，但是他对1745到1784年的巴黎的资料计算出来，却是25/49，概率是0.5102，刚才的概率是0.5116。如果粗心的人就认为这个没有问题，这个大概差不多，他觉得不应该有这么大的偏差，他坚信虽然是偶然现象，但有非常明确的稳定规律。他就去查那个资料，为什么这个比例会变小，生男孩比例变小就意味着女孩子多，是不是这样？就是生女孩的多了。其实他查资料结果发现，当时18世纪的法国也有弃婴的现象，孩子生下一看是女孩就不要了。但是，他们不要的话一般都放在育婴堂的慈善机构的前边，这样早晨的时候那些嬷嬷出来就会发现有人扔了孩子了，那么就把这个孩子收进去。但是孩子在生的时候她要有个记录，这个孩子生下来是个女孩，要登记的。然后那边嬷嬷捡了这个孩子她又去报，我又捡了一个孩子。这样的话无形当中这个女孩的比例就增大了，然后他做了非常细致工作，凡是弃婴的，他一个一个删除，删除后的结果又恢复22/43。所以大家可以看，拉泊拉斯这样的工作来讲，他有个信念就是偶然现象有稳定规律，我一定可以找出来，这个问题果然这样。我想，很生动地讲这个偶然现象的统计规律性，稳定的统计规律性。

中国怎么样？1982年中国调查。拉泊拉斯是18世纪，中国的调查已经是20世纪了。那么怎么样？0.515，大家看（这三个数值小数点后两位都是）0.51，0.51，0.51，仍然是保持的。北京1981年0.5169，虽然后头有变化千分位上有变化，但是到百分位还是准确的。台湾1984年总共是这么多比例0.5199，0.51还是保证，18世纪到现在都是这样。

好，我想我为了要讲清楚下面的应用，先提一个大家很熟悉的东西，我们叫做古典概型，什么叫古典概型呢？简单讲就是假定我做一个随机实验，这个随机实验的对象里头它的结果只有有限多种，A1、A2....An，那么Ai来讲，在这里边的地位是平等的，这些Ai们地位是平等的，就是对称的，没有什么谁特别容易出现的情况。另外来讲的话，最重要是两两之间是互相排斥的，就是说Ai出现Aj就不会出现，A1出现A2就不会出现。比方掷硬币，两面，出正面就不会出反面，我们所说的当然就是理想化的一种结果，不会说投掷的结果它竖在那，既不倒也这个，我们不讨论这种情况，它一定倒下来，或者出成面或者出反面。所以这样的话我们如果讨论其中的某一个事件B，我们说它出概率μb/n，μb怎么算，μb就是说你这个事件当中所包含有多少个Ai，假定有包含μb个Ai，那么好，就是μb/n。那么这个我想大家中学里面大概都会学过一点，比方说投掷硬币结果只有两种，你问出正面的概率是多少？回答1/2，为什么？因为出正面只占其中的一种。

掷骺子，我问一个出偶数点的可能性，那么偶数点这个B来讲的话，其中可以是2、4、6三种，因此是3/6，等于1/2，这些我们都比较快地讲过去，重要的是要讲下面的这件事情。

就是从全体当中占多少它的百分比就作为它的概率，这个古典概型有人把它延伸到几何概率上面去。就是说假设有一个变量是x、y两个指标，那么大家知道，给了一个x给了一个y在平面上就代表了一个点，x、y坐标就代表了一个点。假定x、y这样的一对点，来代表一个点这个点在一个AB乘上CD的一个矩形上均匀分布，假定它是均匀分布，在这个上面出现的机会都有可能。那么这个矩形的面积叫做S，我们考虑在这个矩形里边有一块区域叫做D，这个D的面积是G，那么我们就问了，我做一次实验，x、y能落入在这个D里面的概率是多少？回答G/S，就是全体里头它占多大一块。

好了，就这样很简单的一个基本思想就有很多的实际用途，我下面举两个例子，第一个我要讲的是统计学的应用里的第一个例子，科学计算。用这个统计学的方法做很多很多的科学计算，可以算积分，可以解微分方程，可以解偏微分方程，可以解线性代数等等，都是可以用统计的实验方法来求解，当然这个解是数值解，不是解析解。那么我下面讲的就是这个积分，我在讲课当中因为听课对象大概来自25个系的学生，有数学学的很多的物理系的学生，物理系的学生大概仅次于数学系，你们数学功底非常非常好。也有来自文科的像英语系、东语系，还有考古系的学生，他们的数学基础知识只有中学的基础知识，但是我们讲统计的时候下边不可避免地还是要有积分的概念的，怎么讲？如果按传统的严格的数学的讲法来讲，我绝对是把学生都吓跑了。英语系学生肯定就跑了，不听了。我们不能那样讲，我们用什么方法？用统计的方法来讲积分。

大家看，假定什么叫做一个f（x）函数，假定这个线是f（x），什么叫f（x）函数的积分呢？在A、B区间上的积分呢？这个A、B现在我假定是0、1。那么大家知道，这个积分的意思就代表了这条曲线下边的面积，这个面积你能够算出来，那么我们就可以得到这个积分的近似值了。确切的面积当然就是它的积分值，如果你能够近似地确定这个面积，那么我们说这个积分值的近似值我也可以求出来了。好，下面我们就用统计的方法算这个积分，用这种方法来求的话，这个积分很大的一个优点在哪儿呢？就是说只要有f（x）这个函数的表达式，而并不需要f（x），它有原函数，这个当然有的同学可能知道，有的同学可能不知道。就是有很多初等的，很好看的积分函数的被积函数它没有原函数。下边我要举例子，比方说我们要算一个函数，叫做sinxdx在0到π上来积分。那么要算这个积分刚才讲了就等于要算这个sinxdx在0到π底下的面积，就等于要算这个曲线下面的面积。怎么求？那么我们说根据刚才几何概率的思想，我们就把它转换成了。如果我这个01到01上头，因为这个积分大家看，可以做一个积分变换，就变成0到1的积分，这个在数学上是很简单的事情。下边来讲的话就是我要算这个面积，怎么求呢？我就在这个01乘01上面来随机的点好多点，当然我们不一定是真的拿铅笔去点，现在计算机很发达了，会产生很多随机数，这个随机数是均匀分布随机数，这在这上头点。这个上面可以看见好多小细点，看见了吧？这些小细点来讲过就给它密密麻麻地分布上以后，根据几何概率的思想，怎么样？我就要看全体我洒了多少个点，然后再看落在这条曲线下边有多少个点。这个数数我总会吧？是不是？这两个比值就是积分值。

咱们大家来看，如果我扔100个点，我就发现了这个比例里头来讲得到是1.822，增长到500个点是1.94，增加到1000个点是1.97，增加到2000个点是1.99。好了，大家看真的值是多少？2.0，可以算得非常准确，再往下看。根号u在0、1上的积分确切地（数值）你要去查积分表，你可以算出来2/3，0.667。文科的学生没学过积分，没关系，我说那你就算吧，算出来n等于1500的时候是0.6653，大家看这两个（一个是0.6667，一个是0.6653），只在千分位上差一点。再算，1/4减X减1/2的平方，外头再开方，这个够复杂的了，这个要学生去算的话，也够算一阵子，我们说没关系，你排一个程序，把这个函数给摆进去。大家看，n（等于）100、200、500、1000、1500的时候一个是0.3917，另一个是0.3927。

我讲的这些都是有原函数的，好，我再举一个例子，e的负x平方，0到1积分，学过高等数学的人知道，这个是没有原函数的，因此是积不出来的，所以你说想拿出一个原函数来上下用0、1一代是没有的，只有数值解，那么你去查那个比较精确的表。因为这个函数对我们（研究）概率论的人太重要了，因此有专门的表，很后的数表可以去查，大概是0.74678，要算这个值是相当难的。好了，我们用蒙特卡洛方法，刚才说的这个方法叫做蒙特卡洛。好大家可以看，有1000个，大概是这样，那么我就看这条线下全体当中有多少个点，是0.7466。大家看这个是0.74678，你说有多大差别，在千分位上、万分位上有变化，是不是？那么这个我觉得可以给学生一个思路，学生自从会算这个以后，再也没有任何人说对积分害怕了。有什么怕的？我就数点子嘛，对吧，这样的话就解决问题了，而且在数学上来讲，在统计学上这是一个非常先进的一种计算方法。
好，下边我讲第二个应用，工程系统的设计。在统计学里头非常重要的一条就是新的产品设计，小可以小到一个电路板，大可以大到整个一个通讯系统以及原子弹爆炸的过程。我因为各种原因从事通讯工作，大概做了十年的通讯工程，其中有一部分就是搞军事通讯。那么军事通讯里用的方法实质上类似于这样的思想，当然那个系统是非常非常复杂的，那么我举一个它的思想，我举一个非常非常简单的例子。

设想有一个通讯系统是这样一个通讯系统，这边有一个发射端，发射端的发射信号都是1、－1，1、－1的系列，都是1、－1这样的一些序列，这个序列里头我们叫做伪码，就是伪随机码，假的随机，其实里头是带有信息，但是外头人一看觉得好象乱七八糟的，好像以为是随机的。其实我甲方跟乙方有一个密码，你收到了这个以后你就按我的密码来解，好了，你就可以解出我的东西来了。好，设想有一个系统，它的发射端就是1、－1、p、q，1出现的概率是p，－1的概率是q。然后这个信号就要通过空间通道送出去，因此，中间有一个叫做通道。那么通道发射的过程当中就有很多干扰进来了，比方说大家说无线电总是有好多杂音，那些就是空间的干扰进来了。空间干扰进来了以后，在收端来讲这边是收端，这收端就会发生畸变，因此，1可能判断为－1，－1也可能判断成1。那么这个判决应该怎么判决呢？它有一个叫做门限，比方说大于这个απ我就判为1，小于α的我就判为－1，那么这就输出了。现场来讲就不知道α应该怎么选，选多少合适，这个通讯系统将来好坏、误码率大小就靠α来定了。设想设计当中我要确定这个α，那好，我就画出这个图来以后，就可以用统计方法来做实验了。这是一个通讯系统，现在重要的要确定这个α，那么，把这个真的东西跟你最后判决出来的东西两个做比较，就得到了误码率，错误判决出来的码的概率叫做误码率，误码率当然越小越好。

好，我们设想就在这儿产生1、－1的随机数，就送到通道里边去，这个通道实际上都是在计算机里面，然后把那个噪声给它混进去。噪声一般来讲假定是正太菱形，方的，正态分布就是中间大两头小的那样的分布，就把这个函数加进去了，加进去混叠了以后到这儿来判决，用α。你可以设想α是多少，随你设计一个我都可以给你（判断），大于α就叫做1，小于α就叫－1。这样的话，受畸变数变形以后收到的信号、受干扰的那个信号我同样可以得出一串1、－1，1、－1来，但是是依赖α，对不对。好，那么这个跟真的东西来比较我就可以得到误码率了。设想，我们做的实验是10000个信号，这10000个信号是不够的，我们真正在做实验的时候我们需要几十万个信号，发射几十万个信号过去然后做比较。我们设想这个是10000个信号，那么我们通过这个α的不同值，设想我们α取三个值，一个1/2，大于1/2叫正的，小于1/2叫负的。一个是0，大于0是正的，小于0叫负的。还有另外一个可能是α取为－0.5，大于－0.5的叫正的，小于－0.5叫负的。问这三者哪一个好？比方说设计，我是要做这种设计，那么在空间当中有一个信号噪声比，就是我发出去的信号有多强，跟噪声两个来讲强度的比例。大家知道，如果比例越小的话就说明噪声越强，这个误码率就会比较大，信号非常非常强，噪声很小，这个误码率就比较小，一定是这样的一个观念。那么我们取三个通讯里头考虑信号噪声比是0，这个0是取log以后等于0，那么就是1比1，1取log是不是得0啊？这个是按dB（分贝），通讯工程里头用分贝数来表示，取log以后得0、取log以后得5、取log以后得10。那么我们以0为例，大家看，0.5的时候这个误码率是0.0198，这个实验的结果是0.0198；α等于0的时候是0.0126，－0.5是0.187。好，这个信号噪声比是5、那个信号噪声比是10，一般来讲，信噪比是10。大家看（信号噪声比是）10时候是多少，是0.0007、0.0002、0.0006。

那么从这个实验里头我们得出什么结论来呢？两条结论，一，最好的误码率最小的应该选α等于0，因为它跟它们都有比较显著的差别。第二条结论，你取0.5跟取－0.5引起的误码率大致怎么样？大致相等的一个数量级，这样的一个简单的统计思想现在已经非常广泛地用在产品设计、新产品的设计和很多系统工程设计上面。当然要比我这个复杂得多复杂得多，但是基本思想就是这种思想，就是说虚拟地在一个计算机上面把一个工程的数学公式一步一步地写出来以后，运作，然后调节某些参数。这个参数在这儿我就简单用α，实际问题当然要比这个复杂很多，但基本思想就是这样，做随机实验，做统计分析，最后宣出最优的参数出来，这就是通讯工程设计。

那么有一个杂志大家可以看，国际上有一个杂志叫做“SINUATIAN”，Sinuation就是模拟、仿真。那么我看到澳洲他们设计一个桥梁，这个桥应该设计多宽，他们是事先做这个工程系统设计，用蒙特卡落方法来Sinuation。因为车辆的到达它有一定的分布，到达的时间里头有一定的分布，我们叫泊松分布。车辆的到达最终泊松分布，然后车辆它占的位置是多宽，几个车道。（车）有多长，多长时间可以通过，那么他就设计了，如果宽一点或者窄一点，这个流量大概需要多少时间（车子）可以通过。那么，司机的心理和居民的心理能够承受的那种等待时间就作为我的设计桥梁宽度的依据。所以人家这种桥梁的设计，因为大家都知道，（路面）一宽了以后肯定花钱就要花得多，太窄了以后等待时间太长了大家有意见，所以人家是用SINUATION上我看见他们的报道，就是用这种方法来做实验的。

下面讲劳动保护。工业噪声当中对听力是有损伤的，强噪声的情况之下，工人在这种车间里面工作，大概从我们的研究中看，大概30年很多人就会聋了，强噪声。而这种聋是不可治愈的，就是说你再吃药也没有用，可以治愈。因此就提出一个问题来，我们中国来讲，国标应该怎么定这个噪声标准，定在多少？有人说100分贝，有人说95分贝，有人说90分贝，那么究竟多强的情况之下是合理的？好，我们以100分贝的问题来看这个应该怎么定。

我们跟同仁医院搞了一个合作项目，就是听力的损伤问题。在北京毛纺厂里头进行100分贝条件之下，工人听力变化的测试。那么他招了一批工人进来了以后，还没有进车间我们就先进行一次测试，比方说甲是5个分贝，35分贝、15分贝、5分贝。大概是这样，就是在一个非常安静的测试屋里面，他心情已经很平静了，静下来，然后我们给他发一个声音，这个声音从很小的地方开始，他一旦听见了他就举手，说我听见了。大概连着在这个声音水平上连着三次举手，就表示他确实听见了这个声音了。如果他听不见，我们声音再大一点，这个值越大就表明声音越大。那么大概刚进厂的新工人是这一排数据，15、20、25、10、5、15、35这样，这个是新工人的（听力）。那么他就在工厂里面进织布车间或者什么车间里面去工作了，工作10个月以后，我们又追踪同样的人，把同样的人请来。这个“10”就是代表十个月，“0”就是刚刚进厂，抽了100个人来做对比实验，结果5它就变成了30了，这个35的人不知道怎么反倒变小了点儿，那么15的变40了，5的变20了，这都是真实记录，我们有真实记录，把这个真实记录拿来，现在我们就问了，“是否对工人造成了损伤”？损伤来讲就是你得给他很强的声音他才能听得见，就是耳背了。那么我们就要检验，统计学要检验，看之前的一组数据和之后的这组数据是否有很显著变化。如果有显著变化而且是高显著变化，那就告诉你100分贝对工人来讲听力是有严重损伤的，因此这个标准一定要比100分贝低。我们再做95分贝的（检验），还有损伤，再做90分贝的（检验），懂这意思吧？这样一次一次地做，来定这个国家标准，这就是劳动保护。

那么大家知道这个问题来讲的话，如果学过一点初等统计的话，就知道这是什么东西呢？是成对相关数据的均值检验，用什么统计量？T统计量就可以了。那么检验结果来讲回答是这样的，严格地统计检验以后结论就是有显著恶化。那么我们就再找另外一个车间，95分贝再做（检验），90分贝再做（检验），85分贝也做（检验），85分贝基本上无显著变化。90分贝的话，不同的车间有不同的（结果），基本上还是有变化，但是大家知道，把一个工厂里头车间的噪声要降下来是非常非常困难的事情，要把噪音降下来就要在技术上改革，改革是要投入很大很大的投入才能降几个分贝，你现在要求降10分贝，降20分贝对工厂来讲实在太困难了，这个投资量太大了。所以就涉及到这样的一个问题，最后我们分析的结果就在90分贝上确定下来，国标是90分贝。照顾一下，不要求脱离中国的国情，如果我们定到了85分贝，可能技术改造投入量太大了，就定在90分贝了，90分贝基本上也还可以，就这样了。但是这是国际上公认的一种办法，国际上公认的一种办法就是统计学的检验方法来确定噪声。好，今天耽误大家很多时间，谢谢大家。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第8讲 一门应用广泛的学科——应用统计（下）

谢衷洁：那么统计学来讲的话，我想讲讲社情分析，这个掌握社会动态情况，除了个别访问以外，很重要要有大面积的调查。那么不久以前，今年（2001年）青年节前夕，有一个调查公司发布了对不同年龄的市民主要的情绪分布，总共调查了4726个人。大概分为这样几个年龄段，年龄段18岁到25岁，26岁到35岁，36岁到45岁，46岁到55岁，56岁到65岁，老年了。情绪分为几种，发愁无聊、空虚紧张、平淡冷漠、平静满足、浪漫愉快、还有其他的情绪。那么我们关心两个问题，情绪的分布跟年龄段有没有关系，当前我们这个社会环境，第二个问题就是说如果有关系，那么哪一项跟年龄特别显著突出有关系。这个大家一看可能怀疑是哪一段？是发愁无聊，还是平静满足，是吧？会不会这么看？这个你说话都不算数，一定要统计检验。那么这种在我们统计学里面就管它叫做列类别的相关分析。

刚才说了零假设和对立假设，我们现在也是这样。零假设就不妨认为你这个年龄段跟情绪分布无关，这个年龄段跟情绪分布无关，这个叫i，这个叫j，i跟j无关，我不妨认为你无关，看检查出来有没有矛盾，如果有矛盾我就认为你这个Ho不对，那就是说有关了。选统计量，选统计量是一个u统计量，这u统计量按那个表上面来讲，一个nij就是第j个j行k列所出现的那个数。刚才是不是有什么四百六十几呀、一百五十一呀那些东西，那就是nij。μjk是什么东西呢？μjk稍微麻烦一点，它是这样j这一行里头把这个给它加起来，叫做nj.然后k这一列把它加起来得到这个数叫n.k。这个有个“nj.”，有个“n.k”，就是这两个，把这些东西给它搁在一起算出这个u来。那么数学上可以证明它也是ChiSquare（卡方），但是它的自由度是这样是5，这样是6，5减1乘上6减1，拉么相当于二十，是二十个自由度的ChiSquare。那么根据以上公式代进去得到是311.67，它所对应的概率是多少呢？3.3乘上10的负54次方，几乎就是零概率事件，所以远远小于千分之一。那就说明什么东西呢？说明出现这种如果你认为它确实是Ho的话，这种可能性极小。因此我们否定Ho，而且是在千分之一以下的水平，这种以下的水平之下否定了Ho，这就说明了什么？不是无关而是有关，而且是高度的相关，年龄段和情绪的分布是高度的相关。

好了，你说相关了以后我们就要继续问这个问题了，什么年龄段、什么指标上面这跟年龄段特别显著有差别，那么我们要算一个叫做贡献，从这个贡献的表上大家看哪一个值最大，是不是。就是在什么上面？就在浪漫这一环节上面来讲跟年龄段有关系，最突出的是什么呢？就是那个最年轻的，那个18岁左右的他很浪漫，到了年纪大了以后，他浪漫不起来了，这个中间的（年龄段）他在那儿为生活挣扎，整天在那儿考虑会不会被炒鱿鱼，他心情上他浪漫不下去了，你让他浪漫他浪漫不起来。好，103.9，18岁左右的年轻人他无所谓，生活无牵无挂，对不对。所以这个调查结果大家看出来，这个统计学非常说明问题，很说明问题。但是如果你从原始的数据看，你会怀疑是别的，你看不出来是它。这个就看出来了，很明显103，再也没有比103大的了，对不对，大的很多很多而且。这种来讲我们还做过一项工作，也是属于民社调查的，有一部电影叫《廊桥遗梦》，《廊桥遗梦》出来以后社会反响很不一样，有人肯定，有人不肯定。那么我们就去了解有关方面，调查公司给我们一个数据，他们在电影院里面看完以后问观众对（电影）里头一个叫做金凯的人物有什么评价？他也分为几种，男的、女的，我们重要要有一条，这个电影是不是跟性别的评价有关。回答，肯定的，男女有别，有别在什么地方呢？对谁的差别呢？对金凯这个人物上。那么女的会怎么评价，男的会怎么评价，通过这个就可以看出来，文艺的社会反响通过我们这个统计分析其实很简单，那个u大家别看说的好像挺复杂的，其实现在有一个计算器TI89，我们现在在用，TI公司给了我们100多台，我们让学生来算u统计量，基本上你把那个数据打进去以后一摁就出来了，刚才那311就出来了，概率都出来了，所以很容易算的。我想中学完全可以推广这些东西，可以做很多有意思的、很有意义的东西，对有关部门可以有参考价值的东西。

社情分析二，北京市的人才需求。当前来讲这个社会上对人趋需求怎么看？这是需要普遍关注，但是需要进行认真调查和分析的。不能简简单单地、随便的一个统计数字，那些统计数字也不知道准确不准确，到时候来了就说了，这个那个的。比方说有一种说法，说现在来讲，大学生里面大专生很难分（配工作），大专生人家都不要。实际情况是不是这样？这个问题也需要研究研究，说现在最受欢迎的就是博士。我们就关心人才的分布、需求的分布。第二个来讲工资水平怎么样？现在，我不知道在座的各位能不能给我一个确切的回答，就是说大专水平、中专水平毕业，大概有代表性的工资是多少？300，大专是多少？2000？1000块钱以下。本科，2000，他说4000。硕士，800，有人说3000。所以这个来讲都是不太严格的，我们需要认真做点调查，但是由于时间的关系，我要说以下的数据，只是说部分的。我们请一部分学生去有关的人才需求的方面去问，有的打电话，有的是去（登门拜访），我们总共是（调查）了163家，这个面还是不够，但是给你一个大致的（情况）看看。大家看，在163家公司的访问里面，有9个岗位需要中专、高中毕业、中专毕业。大专的话呢，需要84个岗位在等着你，（需要）本科的有60个岗位，（需要）硕士的有7个岗位，博士在我们访问中只有一家（公司）要。里边的数字是工资，大家看这工资，中专9个岗位里头有6个是给1000块钱，有1个是800，有1个是1500。大专里面最低的给800，最高的给10000，其中44个是给1000，所以刚才有一位同学说1000，这个还差不多。本科最高的10000，这个最低的是1000块钱，19个。硕士里面最低的是2000，有两个岗位硕士毕业只给2000块钱，但是它要硕士，就给2000，人家去不去是一回事，咱们就说人家给什么价。最高的多少？25000，经理的一个位置是25000。博士，它给10000。那么现在就问一个问题了，就是说从这个里面大家可以看，绝大部分大家可以看出来社会上的需求大部分还是以大专和本科为主，这个量是最大的，这个大概是可以这么讲。博士的话，或者是高中的、中专的学历，（博士）太高。我这个是讲是正规地调查出来的，不是那种像科学院早就知道我们北大有个博士生，这个博士生很棒，论文出得很多，早就Engage，早就约定好了，说要把这个博士生（招聘）来，这个不列入我这个里边，所以我就说我这是部分的市场调查，不是全面就业，是市场调查。那么工资里面大家可以看，给800的也少，给10000的也少，大部分是集中在中间的这些里面。

好，下边就问一个工资代表性这句话怎么说，一种来讲是平均，大家最熟悉，平均多少，比方说中专，平均就1066块，最少是800，最多是1500。大专平均是1592，最少是800，最多是10000，平均下来是1592，那么1592好不好作为大专水平的表现呢？我们在统计学里面有一个讲究，我们希望得到的这个指标、这个代表性能够比较稳健，不要受太高工资的个别人的影响，因为某一家公司给的钱很多，一平均就提上去了，一个给的很少，我就给你200块钱，这样就又降下来了，就不要受这个（影响）。大家知道体育体操打分的时候都是去掉一个最高分，去掉一个最低分，它实际上是一种稳健的作用，不受你个别人的（影响），所以我们更喜欢中位数。中位不受两头的影响，是真正的这个里面的一个代表，中位数什么意思？就是说这个数的以下出现的可能性50％，出现比我高的可能性50％，这个数叫中位数，那么大专的中位数是1000，而不是1590，我认为大专1000块钱大概是比较可靠的，目前在北京大概是这样。好，本科，平均是2111，而中位数来讲是2000，这两者比较接近，（差距）不算太（大）。硕士，平均6785，因为什么，有一个25000块钱的，一下子就受它影响了。实际上来讲我们求它的中位数是4500块钱，差不多。我们的学生在中关村打工，差不多是这样一个（工资标准），当然也有很多我的硕士生毕业以后人家就告诉他年薪10万，干得好年薪12万，还有2万块钱的奖金好几个学生都去了南方，年薪10万的也有。但是（4500）这个数我认为比较可靠。博士当然就不好说了，因为你只抽查了一个。所以这个就是告诉我们这个社会调查在统计里面，这个就比泛泛地在那儿胡说八道我觉得就可靠的多了，而且我们可以讲，事实上有很多大专毕业的同学仍然社会上是有需求的，对吧？大家看。

下边讲第七个应用，工业质量控制。有时候有很多非常简单的概念就怕你不会用，你会用了以后在现实生活当中就会起很大的作用。那么我下面讲的一个是工业生产控制表，这个是沃特·舒华德在1920年，在贝尔电话公司里发明的一种方法，它的基本思想就是在生产流程当中不断监测产品的质量。如果质量波动是在容许的范围以内，那么就不做调整，超出就进行调整。那么什么是容许范围呢？就是大学熟悉的3σ原则，就对正态分布来讲，一个随机变量落在它的3倍σ范围以内概率是0.997。99％一定是落在3σ范围里面，因此它在这里边走动你不用管它，它是正常波动，一超出，你就可以说有问题了。那么，这样非常简单、朴素的一种统计观念在生产里面就非常有用了。

我下面举一个例子，一个生产高清晰度监视器的一个生产线，需要在终端的控制关于细电线网眼的张力，这个细线是在这个显示屏表层的后面，太强的张力就会把这个网撕裂，太松的话，这个网就会起皱。这个大家可以想到，因此要有一个合适的张力，大概的话，张力是275，活动的范围可以允许在43范围里面。那么生产当中是由4个终端每小时来取样，然后把它平均一下，看这个量怎么样，那么就（得到）第一个样、第二个样...第二十个样，就得到了这些平均值了。生产有没有问题？是不是属于正常范围？不要等到已经出了一大批废品再去检验、再去调整生产线，这就糟糕了。

好，大家可以看这个图，中间这条线是均值，就是275，3σ就在下面这条线，那么好了，生产过程大家可以看，这种波动都属于在3σ范围里，因此不必介意。一旦出现了这种第14号点，已经超出了这个3σ范围，不仅它超出，紧接着又有几个都在这条线的外边，还有四个点在外边。这时候生产出现问题了，马上通知有关的控制线进行及时调整。因此，这家生产（厂）家它生产的产品质量非常稳定，原因就是运用了这样一个生产流程图，而生活流程图你说它有多大的学问呢？没有，就是一个3σ原则，就是3σ原则，但是用上去以后就管用了。这样的一种思想在一定的波动范围里面不要介入，超出一定的限的话，就要介入进行及时调整。

这个不仅在生产上有用，在高考里面也有用，大家（不会）想到。我们的孙山泽教授做了一件非常有意义的工作，最近几年在高考当中就用，是什么呢？就是语文的判分。语文作文判分很难，你觉得顺眼，这个（分数）我（给）多一点，满分比如说60分，我不知道现在是不是60分，多少分，设想是60分，我就给满分。那个的话，我觉得不顺眼还是怎么样，（分数）就少给一点。当然也不是太随便，要有一定的机制来监督，但是，毕竟这种因素跟数学上的判分不一样，0.3就是答案，你不是0.3就是错的，这个不一样，因此怎么办呢？这个语文的判分一直是一个大问题。我们的孙山泽教授带着几个研究生去做这件事情，大概是这样，请最有声望的一批改作文的老师来判分，其中包括大学的教授，结果就发现他们判得都比较稳定，都比较准，大概都差不多。好了，用他们的经验来讲作为统计数据，然后按一定的波动范围给出那个上下的界来。高考的过程当中，不断地把那个卷宗拿来查，就跟点黑点似的。如果在他们规定的这条线以内，那就是OK，没有问题，就不介入，如果发现有的卷宗超出这个外面去以后，马上就告诉他们，这组你们要小心了，再出现一个，对不起，全部都要重新再改。甚至请别的组的老师来介入，或者专家组来介入。那么这个已经好几年应用在高考当中，这个基本思想就是这个思想。

（在）犯罪学（中的应用），在法律当中、在侦破、侦查当中统计大有用处，我想国内里面做得很好的有一个就是关于足迹压痕特征定量的统计检验法，这个是李从珠教授提出来的这个东西，而且经过多年的从事这方面的工作，做得非常好。后来公安部部级鉴定通过他这个方法，他的基本思想是这样，假定那是个脚印，我这个脚印画得不好。假定这是个脚印，脚印分成红的，叫拇指区，这个是前掌区，他把整个脚印里面以某一个地方为中心，给它分成这样几个圈，这个是8个点，另外，外面8个点。他的原则大概是这样，对同一个人你这个检验应该有稳定性。第二个来讲，不同的人应该有差异性，那么这个原则应该是作为他问题的（关键），那么它以下的方法的核心是什么东西呢？其实是很简单的一个统计思想，给中学的同学们讲一定很清楚，就是误差。就是所有这一圈里面的东西跟这个点，这个外圈它们之间的这个蓝的里面，跟里圈、外圈这8个点，有罗马字标的这8个点，究竟它的平方误差是多少，就有这样一个简单的思想。大家知道误差越小的话，当然就越接近，所以，他把中心地方的压痕踩下去以后，在这个中心的地方有一个程高，有一个高度，这个高度叫Ho，然后再把旁边的这些东西圈里的这个叫做Hj，外圈的这个叫做～，带～的，凡是带～的就是外圈的，凡是不带～是里圈的。那么把这个里圈的东西跟中心两两之差叫做g，外圈的这个跟这个之差叫做“hK～减去hk，叫做gk～”，引进这样的两个统计量系列。好，那么将n个嫌疑犯第i个人的类似的那些指标就给它写成gji，gji的～，第i个人嫌疑犯就10个，这10个人里面这个当然需要案情分析了，分析的结果缩小到这些嫌疑犯就在这儿呢，不知道这几个里面哪一个是（罪犯）。好了，把他的脚印拿来，咱们就做这个，一个S1·i，一个S2·i，第i个人就有两个指标，一个是S1·i，一个是S2·i，基本上就是圈的数据跟外圈的数据。好了，它的统计是这样，如果里圈的数据小于等于45，同时，注意这个，同时外圈的差是小于等于25，则认定第i个人与现场具有相同的特征，就是他了，可靠性多少？97％。反之，若有一个不等式不成立，这两个有一个不等式不成立，那我就排除，就不是这个人了，再换。这个东西发现在很多场合之下很灵、很准。所以公安部就通过部级鉴定了，正式可以在公安当中犯罪侦破就可以用这个东西。

最有意思的叫基辅（Zipf）定律，把一种语言所有的词按出现概率的大小排成次序，则第二个出现的概率叫做P2等于α（乘以）γ的负β次方，α和γ大于0，β略大于1。任何语言都是这个样子，非常奇怪，基辅发现了这个现象，汉语最常见出现的频率就是“的”，74，“了”21，“我们”5.1。诸如此类的英文里面的“the”是73，“of”是39.9等等，诸如此类的，都可以排出次序来。好，（看这张图），普通话是蓝的（线条），英语，紫的（线条），德语、挪威语都是这样的一种下降指数的分布，叫做α（乘以）γ的负β次方。你说这个挪威语跟普通话差远了，是不是，但是从语言现象来讲，它们是一样的，这就是理论语言学里面非常有趣的现象。

还有这个，我要简单说一说。艾伯恩和鲁宾斯坦发现在一个句子当中，各个词类出现的概率有明显的变化，有明显的特征。例如英语当中，名词和代词出现概率大概是1/3，但是在句子的最后一个出现的概率大概是70％，这种词汇的掌握是很有用的。你可以做个实验，我们随便找一本书，有一部很有名的叫“《ESSENTIALENGLISH》”（《基础英语》），它第一课就叫做《THEPRIESTLEY’SHOUSE》（《普里斯特利的屋子》），那么我就去数一数，大概是0.75，跟它这个70％也差不多。

这个是去年刚完成的一项工作，大家可以在北京大学学报上找到这篇文章，就是《J效应分析》。我的本意来讲，因为我承担国家自然科学基金委一个重大项目，就是金融工程和金融数学，那么那里我是负责研究汇率的。大家知道在亚洲金融风暴的时候就出现一个问题，就是说人民币要不要跟着贬值，那时候说法很不一，大概就有两种意见，一种是应该贬，一种是不应该贬，不应该贬值就是说我们保持稳定，，应该贬的来讲就是贬了以后我可以买偏宜货，我贸易收支可以改善。而且据说还有人说贬值多少我可以收多少，贬值多少（等等）都可以算出来。那么我们从直接来讨论，人民币该不该贬值这个事，有点困难。那么我们就讨论一个问题，人民币贬值有什么好处，有什么坏处，好处在什么地方。坏处，在我们当前中国的情况之下，是可取的还是不可取的，这个坏处来讲，带来的坏处是可忍受的，还是不可忍受的。我们换一种说法，其中一个就是TradeBalance，就是这个贸易收支。美国有一个很著名的机构叫做美联储，这个格林斯潘来过中国，那个人等于是个大事级的人物，大概世界金融里面很多东西都在他运筹帷幄之中。那么这个美联储比较早就研究了J效应，什么叫J效应，大家看这个黑字就行了，我用中文简单地说一说。意思是这样的，就是你大规模的货币贬值以后你的贸易收支并不能马上改进，相反，它会掉下来，如果你的政策是正确的，到一定程度以后它才能恢复起来，因此整个的轨迹就形成了一个J字。所以大家看这个，“Tradebalanceonthegraphthusdipsdownbeforeturningup”，就是（贸易收支）先掉下来再上去，然后“takingtheshapeoftheletterJ”就是（贸易收支）掉下来像个J字，这叫做贸易里面的金融贬值以后出现的J现象，或者叫J效应，JEffect。

那么研究中国的不太好研究，为什么？中国人们民老是七点二几、七点二几，这是国家规定的，有点小浮动，七点二九就了不得，都是二后面有点变化，基本上是国家定的，所以这个不是浮动的，西方国家是浮动的。那么我们就研究墨西哥的（金融状况），墨西哥在1989年一直到1995年经历了一次大的金融危机，这次金融危机引起了它的很多经济现象，都跟着来了。那么大家可以看它的TradeBalance的变化情况，是这些，这是真实数据，那么我们用统计方法，因为统计里面有一个简单的方法叫做回归，用回归去做一下，大家会看得出来，确实是一个J字。因此J效应是确实存在的，不是说我贬值以后贸易收支马上就能改进，而是它是要先掉下来，然后怎么样？才能上升。那么人们当然就关心一个问题，这个0相当什么？贸易平衡、收支平衡的样子，然后就贸易赤字了，赤字以后要慢慢上升，要经过一个点，叫做平衡点，然后就贸易盈余了。那么我们这段时间处在赤字的这阶段时间里面，我们管它叫做J效应的恢复期，英文叫“RecoveryDuration”，恢复期。我们当然希望恢复期越短越好，是吧，长了以后就糟糕了。好，大家看看这个，它们大概需要花多少个月才能（收支平衡）。这个数据是QuarterlyData，就是季度数据。那么在来看看，这个（y轴上）0的地方（x轴上）大概是5的地方，另外一个（x轴上）25恢复上来的话，大概是（y轴上）0的地方大概是25，因此前后经历了多少？经历了20个季度，20季度相当于多少？5年。所以墨西哥是花了5年的时间，才把这个金融危机贬值以后所引起的J效应克服过来，5年。

这个日本的情况是多少年？日本也研究，因为日本70年代也经历过金融危机，它们大概是3年半的时间。那么，我们得到了重要的墨西哥回归方程后，在香港的时候他们经济学家就问了，我们要研究一个问题，怎么样才能使这个周期缩短一点，恢复期缩短一点，是不是它们贬值的不够啊？它们已经十倍贬值了，就是原来1块钱只值一毛钱了，你说是不是值5分钱它就短了呢？还是说少来一点，就问这个问题。那么大家都知道，统计学有一个重要的东西，叫做正交实验，就是可以做试验设计。我们就把试验设计放到我们这里来，变动里面有关的因素。好，你说贬值不够，好我们再多一点，贬值120％，150％。你说我们利率调得不够，我给你加，利率提高2倍，提高3倍，我们可以用因子的变动来做实验。刚才不是有个蒙特卡洛实验吗？这个也是蒙特卡洛实验，好了，做实验的结果我说的简单一点，有的口就开得很大，有的口就可以开的很小。我们当然希望是找小的，对不对，最后的结论大概是这样，长的71个月，段的60个月，可以差1年。好的是什么东西呢？好的是第5号实验，第5号实验是什么意思呢？我就简单地说，最重要的有这样几条结论，一个来讲，第5号实验来看，最优的，这种口最小的地方来讲看墨西哥它的贬值是过度贬值，没有必要。第二个来讲，它的短期利率提得太高了。第三条是最重要的结论，就是说它应该转型它的产品的出口，科技含量应该增加，我觉得这一条来讲对我们是非常非常有借鉴意义的，就是中国必须利用现在出口贸易非常强劲的时候，要转型。不能老是卖鞋子，卖玩具，这是我们很重要的一个建议，就是使得我们自己的力量增强的话，EPI，叫做出口价格指数要提高。非常容幸，今年（2001年）开两会的时候听到朱?基报告，中国的机电产品这几年占的出口比例猛增，这是一个非常好的现象，就是出口价格指数在升，我想这结论都非常好。

我想还有其它的应用，我想简单说几句，我们自己做的工作里面还有这样几件，一个就是弱信号的检测，一个就是海洋重力勘探，就是大规模的地球物理勘探，需要有一种新的仪器，就发现这个新的仪器里出现一个问题，就是十万分之一里面的一个弱信号你能不能把它找出来。就是有一个信号比周围的干扰来讲，只有它的十万分之一，你能不能把它找出来，我们给找出来了。造了两艘船，海洋一号，海洋二号，就装了我们的这个仪器，其中最核心的数学部分是我们做的，（我们）用统计方法做的。第二个，雷达作用距离的加强，就是我们现有的雷达作用距离希望能够加强，用什么方法？弱信号检测，有一套统计方法。第三个，航空医学当中的应用，飞行员的脑电分析，这是我们跟航天医学合作的，愚型儿童的脑电分析。第四个是血样分析。第五个，天王星光环的发现，这个比较早一点了。这是早年我们做的一项工作，天王星究竟有几个环，我们用数学方法找出来，至少6个环。第六，考古学当中的应用，还有自动文摘、服装、管理啊，我想这个有很多了。我们回到我们一开始的《不列颠百科全书》所讲的，什么是统计呢？统计学是收集和分析数据的科学和艺术，确实是需要有一定的科学，同时也显出它的艺术性来。

好，今天耽误大家很多时间，谢谢大家。

行云流水

［百家讲坛讲稿］［相识数学］第9讲 市场经济中的数学（史树中）

数学本来大家都认为这个是很抽象的，跟我们的日常生活没有什么关系，但是我最近这些年来就是因为从这个方面的研究跟教学，就发现数学跟金融经济的用处（关系）是非常之大，而金融跟我们每个人的日常生活都是分不开的。

我们首先来谈谈市场经济跟数学的关系，市场经济的发展使得理财已经成为人人不得不关注的一件大事，为什么呢？前几天正好电视台有一位大款在被采访，他们正好也在讲理财的事，那位老总就说，在几十年以后，在计划经济的时候，就根本谈不上有什么理财，因为大家就那么一点工资，他一个月工资才四十几块，那么粮本上的粮食买了然后定量的肉、油一买，这个钱也就差不多了，也没有什么财要理的。那么现在有了一点钱了，那就是要考虑买这样买那样了，他觉得理财就成为了一件很重要的事。家里也有一点财产了，可能有了房子，有了汽车，有电视机等等，经常得估计一下我这个到底有多少财。当然他也说了，如果比尔·盖茨那样的人也不需要个人理财，因为他钱已经多的花不了，要花他个人的钱他用不着考虑怎么来花，也没有理财的问题。但是比尔·盖茨就有集团的理财，他要考虑他这个微软公司的理财。总之一句话，市场经济的发展使得理财已经成为人人不得不关注的大事。

那么什么叫做理财呢？理财就是要为资产估值，我们有句俗话叫做“破家值万贯”，什么叫破家值万贯呢？你虽然一个家看起来很破，但是你实际上算起来还值不少钱呢。一个破家到底值多少钱你不用去管它，但是呢，现在我们经常有各种各样的消费，口袋里面经常有些钱，可以追求买各种各样的东西，那就得经常算算怎么样花钱。那么说到底，就是要对你的手头的各种各样的资产来估值，那么什么叫做资产估值呢？资产估值其实也就是你搞清楚了里面的一些金融道理之后，它就变成一个数学问题。

底下是一个关于理财的报道，这个正是反映我们国家现在的一个状况。这是《新民晚报》上的一条消息，不过这是新华社的一条消息，说据新华社报道，种种迹象表明，我国国民经济快速发展，和个人资产稳步增长的趋势正在积极呼唤全方位的金融理财服务。这里面有很多数字了，说74％的被调查者对个人理财服务感兴趣，41％的被调查者需要个人理财服务，底下还有其他的一些都是说很多人都在关心怎么样来个人理财，理什么财呢？这里面有个大题目，就是存款、股票、债券、基金保险如何优化组合。当然实际上理财比这个范围还要更广，还要包括你家里的，你想买房子或者家里的一些电视机、空调等等这种财产你怎么一起来管理。所以也就是说，我们这个社会由于国民经济的快速发展，个人资产的稳步成长，使得成为一个理财的问题大多数人都是非常关心的。那么为了说明这个理财当中的金融道理跟数学问题（之间存在的关系），我们就从购房的按揭贷款来说起。刚才王老师说了一句，“按揭”两个字都不懂是什么意思，按揭是广东话，实际上就是抵押的意思。购房按揭贷款也就是就房抵押贷款，现在喜欢用广东话说就叫做按揭贷款。所谓购房按揭贷款或者按购房抵押贷款，这是一般的一个流程，你如果想买房子的话你先去咨询一下，然后去申请购房借款，然后再提供资料给银行，银行审核了办了一个合同，然后再去补办各种各样的产权抵押登记，送到银行去，银行就代办保险业务，最后就发单还给你，借款人慢慢地还，到最后结清了，这个抵押贷款就算注销登记，就是这么一个流程。

那么抵押贷款现在在市面上有两种办法，一种就叫做公积金贷款，一种就是商业贷款。公积金贷款跟商业贷款它们在利率上还是有所不同的，公积金贷款它一年的利率，如果你贷款少于五年是4.14，如果超过五年的话就是4.59，4.59就是每一万块钱需要付多少利息，这里我们可以最长是可以贷到三十年，款项好像是39万封顶的，你最多可以贷39万。那么一万块如果你真贷三十年的话，你付的利息后面的人可能看不清那个数字，一万块实际你最后还掉的是18000块，差不多要有一倍的（利率）。商业贷款的利率更高，商业贷款的利率如果是五年之内是5.31，这是年利率，它在五年以后是5.58。那么它的贷款实际上也可以贷30年，最长也可以贷30年，商业贷款倒是没有限制，不一定要封顶39万。但是商业贷款就比刚才那个贵，本来一万块钱只还18000块，到这个地方就是一万块钱要还到20621块，就要多一倍的价钱。那么我们同时可以跟银行的存款利率比较一下，如果你把钱存在银行里，现在的利率是非常低的，活期存款只有0.99，连1都不到。半年、一年到五年的存款的利率也只有2.88，各种各样的存款大家可以看到，（利率）都不到3。那么它要求的利率比这个当然就要高得多了，但是反过来你跟其他的贷款利率来比，如果你去问银行借钱，那银行问你要的利息就高了，就从5.58一直到6.21。那么购房贷款跟其银行的一般的贷款利率（相比）还是低了一些，这个还是鼓励大家买房一个政策。

第二个问题，你搞按揭贷款到底合算不合算，这是一个所谓消费的准则问题，这个人跟人之间是会很不同的。但是说到底这里面就牵涉到一个概念，就是对任何人来说这个钱都是有时间价值的，不同时间的钱的价值是不同的。比如你想买房子这件事情，这个年轻人买房子有时候就没什么顾虑，因为他可以贷款30年，他负担可能就会比较轻，而且年轻人的志向很大，他想我将来可能工资会越涨越高，将来可能赚大钱，所以我慢还，心理上没什么压力。但是年纪比较大的，到了四五十岁的，甚至于接近六十岁的，你要去贷款买房子，一方面银行不贷给你，银行的贷款说是年龄不能超过65岁，65岁就不能贷给你了。另外方面呢，你年纪大了你自己也得考虑，我马上就退休了，退休了以后工资就（定）死了，而且再也不会涨了，不但不会涨，比现在的工资还要低一块，那你怎么来还贷款呢？你也没办法来还，除非你有一个儿子发了大财，他给你钱。那么每个人在考虑问题时都会考虑到时间对自己会有什么因为，那么也就是说这个钱与今天的钱、跟明天的钱、跟将来的钱比较，每个人都会考虑它的价值，这个价值就是我们这里提的一个概念，就是时间价值。虽然在具体合算不合算的时候一般人不会去拿个计算机好好算算，除了我们学数学的人有时候那么细。一般人是不会算的，就是在心里估一下。但实际上每个人在的算时候，对个人来讲都会有一个叫做个人折限因子，也就是说你把将来的钱跟现在的钱怎么样比较，个人的折限因子也可以看成一个也相当于对你个人来说的一个利率。

比如说有些很有钱的人，有些老总们，他有钱他也愿意去借钱。就是他去买房子，他的存款明明一次就可以把房子买下来，但他也愿意去搞商业贷款，问银行借钱，原因在哪里呢？因为他有一个企业，这个企业要投资，投资要投钱，投钱他也可以去问银行借款。但是银行借款那个贷款我们刚才看到，它那个贷款（利率）应该是六点几，跟住房贷款比还是要更贵一些，那我何必拿了这个钱付掉，然后再去问银行借钱，以更高的利息去借钱呢？这个当然不合算，所以他有了钱也愿意去借钱。当然，像银行的贷款，它的利率高到六点几，六点几为什么还有人去借呢？那是因为借钱的人他拿了这个钱可以去投资，可以去做买卖，他将来要赚到的钱肯定要比六点几高，假如他赚的钱只有三点几，你去借六点几利息的那个钱，那不是自己找死吗？所以实际上他期望将来的收益更高。

所有的这些讨论都是建立在一个很简单的概念上，就是钱是有时间价值的，你假如没有什么随机的变化，我们都可以把将来的值多少钱的东西算算它现在值多少钱，但是这些情况是非常理想的情况，你要考虑世界很太平，它老是在那里发展，今天是这样，明天是这样，里面没有什么随机的因素在那里来干扰，那么所以这些公式得到的都是理论的公式，它们都在相当苛刻的条件下才会成立。尤其是对股票定价公式，股票定价公式你去看一些讲股票的书，它都会讲这个公式，但是很少有人拿这个公式去做股票买卖，因为这个算出来的结果跟实际的股票的价格出入还是很大，出入大的原因是什么呢？因为未来有很多不确定性，他为了将来谁知道会碰到什么情况，有各种各样不确定的性因素，这些在金融问题上它就叫做风险。什么叫风险呢？原来以为它会涨，结果跌了，以为你会赚钱的，结果你赔了，这个就是金融方面的风险。

刚才都是讲将来确定的值多少钱的你可以算算它现在值多少钱，但是将来你不确定的钱，能不能来算算它现在值多少钱？那么这个问题我们可以给它起个名字叫做风险定价问题，就是将来有风险的一些事情，将来它可能值这点钱，也可能值更多的钱，也可能值很少的钱，由于不同的情况，它会值不同的钱。那么你能不能也来算算它现在值多少钱？这个问题可以联系到历史上最早的一个数学问题，大家都知道概率论这门学科，现在大家都认为概率论这门学科它最早的工作，是当年十七世纪的时候，两个法国数学家，一个叫巴丝卡尔（BlaisePascal），一个叫费马（PierredeFermat）。他们两个人互相通了五封信，由于这五封信他们要解决一个问题，解决一个问题就由此形成了概率、数学期望，以及一些它的概率论上面的一些基本概念。那么当年他们劳伦什么问题呢？我们可以看到巴丝卡尔比费马要小很多岁，小二十几岁。实际上费马是巴丝卡尔的父亲的朋友，巴丝卡尔是个大才子，他很年轻的时候就有很多数学上的发现，比如说我们中学数学当中大家很熟悉的杨辉三角，我们叫做杨辉三角，但是在西方书上都是叫巴丝卡尔三角形。那时候巴丝卡尔在一二十岁的时候，很年轻的时候就发现这个（三角）。

当然巴丝卡尔首先是个数学家，他也是个作家，也是个哲学家，那么他在很年轻的时候接触了一些赌徒，一些赌钱的人。那些赌钱的人给他提了一个数学问题，他不知道怎么解答，他就写信去问那个费马，然后他就跟费马讨论起这个问题来了。那么这个问题如果用个学术性的名字来讲也是个风险定价问题，只不过这个风险定价就是一个赌博。这个赌博是一场掷?子的赌博，他们当时讨论了怎么一个问题呢？这是一个赌徒向巴丝卡尔提出的问题，两个人在那里赌钱，赌钱就是桌上放着一堆钱，谁赢了就把这堆钱拿走。那么这个赌博的游戏规则是两个人掷?子，谁先扔满了五次，两个都扔了六点，那么就算谁赢。那么掷?子掷下去现在我们知道，一个?子得六，它的概率是六分之一，两个都要得六一的话，它的概率就是三十六分之一，所以你扔个几十次都不一定出一个双六点。

所以这个赌博游戏还是很费时间的，两个人赌博了一成天结果还没分胜负，没分胜负但天已经晚了，不想赌下去了，那怎么办呢？这堆钱到底归谁呢？你也没赢，我也没赢，平分，因为我们现在说一个人他扔了四次的双六点，还有一个人扔了三次的双六点，如果平分的话A当然不会满意，我比你多赢一次，凭什么平分？按四比三分，你扔了四次我扔了三次，按四比三分好象说不出什么道理，为什么四比三，反正不知道该怎么分。那么这个赌徒就去问巴丝卡尔这个钱到底应该怎么分，答案是巴丝卡尔跟费马两个人最后的答案说应该A得四分之三，B得四分之一。这个就是一个风险定价问题，就是将来可能出现两个结果，那么现在这个结果应该怎么来给它定价？他们说最后他们的定价就是一个得四分之三，一个得四分之一，那么他的根据在哪儿呢？他的根据就是说我们底下在赌，要看谁先得双六点，假如A先得双六点，A先得双六点的话，那么A已经满了五次了，满了五次那个钱应该全归他。但是也不一定A先得双六点，B可能先得双六点，B得双六点那是什么结果呢？B得双六点大家都是十次，大家都是十次这个就比较好办，大家都是十次，我们是一样的，一样的这个钱就应该对半分，一人得一半。那么到底谁赢了，也可能A先得双六点，也可能B先得双六点，那么我们就认为这个可能性是一样大的，A得双六点的可能性是二分之一，B得双六点的可能性也是二分之一。那么A得双六点既然二分之一是全拿，跟二分之一拿一半，那么把它加起来就是应该得四分之三。而反过来这个B呢，是二分之一的可能拿一半，二分之一的可能什么也不拿，那么他就应该是四分之一。

当然现在我们这个话可以用概率论的话来说，就是说底下谁先得双六点的概率的各是二分之一，然后根据这个概率以及他们各得的钱，要算上它的数学期望，算上它的平均值，那么算下来的值A就应该得四分之三，B就应该得四分之一。

他的结论就是说应该用数学期望来定价，这个所谓数学期望来讲，就是这件事我们可以叫它一个风险权益，就是将来不确定的权益，它可能发生各种各样的情况。在各种各样的情况底下，每一种情况每一种状态，比如发生第i种状态的价值它是Qi。第i种状态发生的概率是Pi，那么就把第i种状态的价值乘上第i种状态的概率，把它加起来，这就是数学里面叫做数学期望。那么当时他们就算这件事情解决了，不单单解决这么一个赌博问题，当然没多大意思问题就是通过他们的五封信的通讯，使得概率论慢慢地成为一门学科，整个概率论学科的意义那就是很大的，因为这里面就形成了概率呀、数学期望以及其他的方差等等概念。

那么那种定价的方法是叫做客观概率的风险定价，这就是根据将来可能发生的概率，客观上可能发生的概率就像是硬币，扔硬币出正面的概率是二分之一，出反面的概率也是二分之一。因为这个硬币它正面跟反面基本要做的是一样的，它可能变成正面，可能变成反面的可能性是一样大的，这个完全是客观决定的。那么这种概率就叫做客观概率，用这种客观概率来定价，当然在今天许多情形下还可以用，比如保险公司，他就可以用这个方法来为自己的业务定价。比如人寿保险，人寿保险它就要去调查我们各种年龄的死亡率是多少，他是经过大规模的调查。那么他就（做出）一个人寿保险的一个表，这个调查下来就认为是个客观概率，这个人在60岁死的可能性多大，70岁死的可能性多大，它都有一个根据，然后根据这个表它就可以定你这个保险费怎么收。现在彩票很热，当然，彩票严格地说不是什么概率，彩票在发行的时候它事先已经一切都做好了，你去买彩票的时候中奖概率是多少，那也有个客观概率，你可以去算一下。

但是发行彩票的人他事先这笔帐都早已经虽清楚了，因为票就这么些，里面有多少张头奖，大心里都很有数，他马上就给你算出来。发行彩票的人肯定赚钱，他没赔的可能性，这是都是实现算好的，最多的偶然性就是彩票没卖出去。假如彩票全部卖出去的话，他们得多少收益，完成是没什么不确定性的问题。赌博稍微有点不确定性，但是你想想，赌场的赌博机不知道有多少，那就等于概率论里面做无数次的赌率实验，肯定会趋向那个最后算的那个概率。所以，虽然有不确定性，但是这个不确定性跟你算出来的东西差别也是不太大的。但是如果把“客观概率风险定价的办法用来作为风险环境下的决策准则，那肯定是不合理的”。刚才那个问题比较简单，那么算一下就完了，这个钱分光了就完了，一般的情况底下，你加入算算他的客观概率算一个数学期望，然后以数学期望做一个指标，你就按这个指标来决定你应该怎么办。那一般来说是不合适的，因为大多数人对风险还是有点害怕的，当然钱多，承担风险的能力就大一点，钱少，承担风险的能力就小一点，但不管说，有风险的事情你总得考虑考虑。

所以，假如有两件事情，一件事情是肯定的，比如说肯定给你一百块钱，还有一件事情是不确定的，比如说1％的概率你得一万块钱，但是以99％的概率你什么也得不到，那么那件事情的数学期望是多少呢？一百分之一的概率得一万块钱，它的数学期望也是一百块，但是还有99％的概率是什么也得不到。如果我要问你这两件事情你喜欢哪一件，我想一般人都说你拿一百块就行了，何必去冒那个险呢？可能得一万块钱，但你也可能一个钱也拿不到，而且拿不到的可能性更大一点，那你何必去冒这个险呢？所以说你用那样一个客观概率来为将来一件不确定的事情作为一个准则，这其实是不恰当的。

还有一个问题就是，股票能不能用刚才这个办法来定价。股票你要考虑它将来可能会发生各种各样的事情，你听到很多利好的消息，也听到很多一个公司内部有什么财务上的问题，等等消息。那么每一种消息你都不是很确定的，但是如果那个消息是真的，那个股票应该多少钱，如果另外一个消息是真的应该多少钱。然后每一种的可能性你都估计一下，根据这个估计你来算算它现在应该是多少钱。当然那种估计很难说是客观概率了，而是根据你自己掌握的信息，给它将来的可能性做一个估计，然后去算算它的平均值是不是那样。这是从个人来说，但是从市场上来说，我们能不能看看，因为股市上的数据很多了，你可以看到股市上将来的很多数据，根据将来的数据来估计一下现在应该股价值多少，这个我们也可以去做实验的。

那么是不是也满足刚才说的，现在的价格就应该等于将来的价格的平均值呢？那么这方面很多专家做了很多分析和研究，研究的结论基本上是这个样的，股票的价格是没有办法用这种方法定价的。也就是说股票当前的价格一般不会等于它将来价格的数学期望，假如这个股市发展得很好，而且股市没发生什么以外的事情，很平稳的话，有一个特性叫做无套利假设。这个无套利假设就对股价的变化加上了个限制，什么叫做无套利假设呢？这是一个专业名词，但这个名词其实很好懂，这个无套利假设也就是说市场上你要通过价格上的一些信息，然后利用这些信息你可以去搞一个投资策略，然后搞这个投资策略你一个钱都不用花你就赚钱了。无套利假设是说这样的事情是不可能的，为什么不可能呢？这样的事情就等于你现在跑到马路上，地上有一百块钱放在那里，你可以随便去拣。那么一般来说，你跑马路上去看，大概看不到这个一百块钱放在马路上。那么为什么没有呢？因为如果路上有一张一百块在那里，可能它在那里存在了几秒钟、几分钟，但是几分钟以后总会给人拣走的。所以一般情况下，马路上是拣不到钱的。那么无套利假设也是说，市场上也是那么回事，市场上可能有一个赚钱的机会及基本不必要什么投入，马上就赚了一笔钱。

但是如果有那样的一个机会，谁都不是傻瓜，你能赚钱我为什么不能赚钱？所以大家都会去赚这个钱，大家都一上去，这个钱一下就给人拣完了，就没有了。所以一个市场如果发展到一定的地步，很成熟的话它应该是没有套利机会的。这样说还比较抽象，我们可以用数学的办法，就是我们去给它构造一个简单的数学模型，用这个数学模型来说明这个无套利假设是怎么回事情。我们就来做一个最简单的模型，这个模型当中只有当前跟未来两个时期，里面也只有两种证券，一种证券是无风险的，无风险的就是钱，还有一种有风险的，有风险证券就是股票。钱的当前值跟未来的值是一样的，一张一百块钱你今天放在口袋里是一百块钱，到明天这张钱还是一百块钱。但是股票呢，你今天买了这个股票，到了明天这个股票价钱就可能变了，那么我们为了数学上做一个模型来说明这个问题，那么我们就假设一个最简单的。明天它只有两种可能，它今天有一个价值，明天可能是A，也可能是B，不过我们现在讨论另外一个问题，我们要讨论股票不能根据将来的价值来给它现在定价。

所以我现在知道股票将来到了明天，它可能等于A，也可能等于B，要问你股票现在值多少钱？当然如果我们抛开其他的事情来说，这个问题不应该这样问，因为我们只知道股票现在值多少钱，而且不知道明天值多少钱。现在我们从一个理论问题来反过来讨论。假如你已经知道股票每天有两种可能，那么现在的股票应该值多少钱？当然如果我们抛开其他的事情来说，这个问题不应该这样问，因为我们只能够知道股票今天值多少钱，而且不知道明天值多少钱。现在我们从一个理论问题来反过来讨论，假如你已经知道股票明天有两种可能，那么现在的股票应该值多少钱？答案是今天的钱应该是A跟B之间，为什么（在）A跟B之间呢？这就叫做无套利假设，假如今天的股价比A和B都要低，也就是说今天股票的价钱比明天股票的价钱肯定要便宜。肯定要便宜那我就要想办法赚钱了，我今天把股票买进，明天把股票卖出，那我不就赚钱了吗？因为明天不管发生什么情况，它股价都是比今天高。那么你没钱怎么办呢？没钱我去问人借钱，我借了钱买股票，买了股票明天把股票卖掉，得了钱以后还钱，因为我借的那个人的钱是不要利息的，我把明天卖出去股票得的钱还他。

所以对我来说，我就白得了一份钱，我其实一分钱都没花，用借来的钱买了股票，然后抛出了，又把赚的钱拿走了，今天没花钱，明天赚了一笔钱。所以今天价格没有明天那么高的话，我就有一个低价买入高价卖出的一个投资策略，我就可以赚钱了。这个赚钱那是一个明摆着的赚钱机会，我们说这个市场发展到很完善的时候这种机会不应该有。反过来如果今天的故价在明天之上，就是在AB之上，就是明天不管发生什么情况，明天肯定跌的，明天肯定跌我也可以搞一个投资策略，也能稳赚钱。

那是怎么个投资策略呢？我就去问人借股票，不是借钱，借了股票我今天把它卖出去，卖出去明天再把它卖回来，然后把股票还人家。那么我今天高价卖出明天低价买入，那我也赚了钱，但是实际上我也没花钱，所以这个也能够获得套利。那么这两种情况都是违反无套利假设的，当然实际上是有条件的，这个条件就是允许这个投资者他能够自由地借钱跟自由地借股票。一般当然没那么好的事了，有的人借得到钱，有的人借不到钱，借股票在金融上面有个专门的名词，叫做“卖空”。我们的股市直到现在是不允许卖空的，你没有这个股票你不能到市场上去卖这个股票，但是在美国的股市以及很多发达国家的股市是允许卖空。就是我根本就没这个股票，但是我在市场上也可以去卖那个股票，然后到最后交割的时候我再想办法把它买回来，就像刚才说的这个情况。那么也就是说假如这个钱可以随便借，同时又允许卖空的话，那么无套利假设实际上就已经可以给股价，根据它将来的情况来给现在定价。只不过它不是定出一个价钱来，不像刚才那个一下就定出一个价钱了，它不是定不出一个价钱，它只有告诉今天的股价一定在A和B之间。就是明天是一个涨一个跌，你不能明天肯定都是涨，或者明天肯定都是跌，那就有套利机会了。

刚才的模型我们还可以搞得复杂一点，就是考虑时间价值。考虑时间价值就是刚才说的，今天的钱跟明天的钱是一样的，但是我可以考虑另外一个是债券，考虑另外一个是债券，它今天值一块钱，明天就值“1加r”块钱。那么在这种情况下，我们同样可以讨论了，今天的股价根据无套利假设，应该得一个什么结论呢？它的今天的价格应该是a/（1＋r）、b/（1＋r）之间，这样才不会违背无套利假设。前面我们讲过，用客观概率来为股票定价可以得到一个值，那么假如我们在现在这种情况下也用客观概率的办法来定价呢？符合不符合这个逃离假设呢？确实是符合的，因为你用这个办法来定（价）下来的平均值一定是它们之间，那是你按客观概率来算的。但是反过来，在它们之间这个值不一定是那个客观概率算出来的平均值。所以，刚才叫做用客观概率来为风险定价，现在我们这个说法叫做用人为概率来给风险定价。因为既然当前的股价一定在这两个数之间，我一定可以找到0、1之间的一个数，使得q＝（pa＋（1－p）b）/（1＋r）。这个p在0、1之间，你也把它看成一个概率，只不过这个概率不是客观上可能发生的概率，而是你人为地算出一个东西，你把它解释成为概率，这个是第一种状态容易发展的概率。这种概率不一定是客观概率，但是我们利用这样算出来的概率，我们就有可能来给股票和债券所产生的衍生债券来定价。也就是说我们有的东西是债券、股票，股票未来的价格也定了，今天的价格也定了，还有一个东西叫无套利假设，无套利假设对股票的价格做了一点限制，然后由此可以算出一个概率，我们这个概率就可以去算其他证券今天的价格。

这件事情我们如果第一次接触的话，感觉里面还是有点悬，确实，发现那么样一件事情现在说，人类经历了差不多一百年才把这个事情搞清楚，这件事情就是期权定价理论。期权直到现在为止，我们国家的股市当中其没有那么一个东西，但是在我们国家现在慢慢地也流行了。期权就是以某一种固定的、执行价格在一定期限内买入某种股票的一个权力。现在我们国家有很多企业在那里改制，改制也就是学西方的企业，西方的企业就是给职工发期权。期权在历史上出现的很早，开始时它如同股票抵押贷款。其实跟我们今天讲的主题抵押贷款和按揭贷款，其实这件事可以设想为用股票的抵押贷款。也就是说，假如有两个人，一个人根本没钱，还有一个人很有钱，但有一个人要去做股市交易，他就去问另外一个人借钱。问另外一个人借钱，他没钱人家说你得拿东西抵押。拿什么抵押呢？他说我就把买来的股票作为抵押，那么买来的股票的抵押到了贷款到期的时候，借款者他赚了钱了，就可以把赚了的钱拿来，把股票赎回来。那这种情况你这个股票是赚了钱才能把它赎回来，但到了明天股票赚不到钱怎么办？赚不到钱股价跌下去了，跌下去了借款者要还的钱比股价还要贵一点，那我干脆股票不要了，股票就归你，我这个钱就不要了。这样一来，这个人在股票涨的时候他赚钱，跌的时候他也没什么损失，这件事情当然太好了，那就变成一个套利了。那么这种情况下，贷款者他就感到不大合算了，那他就问借款者要钱，说你既然一个钱都不花你就赚钱，不行，你要问我借钱你得另外再付我一笔钱。那么这个里面就相当于隐含了期权的价格。

这个题目叫做《市场经济中的数学》，也就是说市场经济它有非常活跃（的方面），那么里面有很多数学问题，这种数学问题就是为各种各样的资产来估值，那么这种数学问题有的比较简单，但是有的也还是比较复杂。这个问题是我们人人都要关心的，在我们周围经常可以看到各种各样的市场经济当中要为各种各样资产估值的问题，所以作为一个数学爱好者，作为一个有心者，作为一个愿意在市场经济当中利用你的数学的能力，将来去进行创造、进行这方面的研究工作以及进行这方面的经营工作，那么这个数学是非常重要的，里面有很多问题值得我们去探索，值得我们去研究。好，谢谢大家。