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技艺

隙积术与会圆术

【原文】

算术求积尺①之法，如刍萌②、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑③、圆锥、阳马④之类，物形备矣，独未有隙积一术。古法：凡算方积之物，有立方⑤，谓六幂皆方者。其法再自乘则得之。

有堑堵，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法并上下广折半以为之广，以直高乘之⑥，又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾。勾股求弦，以为斜高。有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂⑦之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用刍童法为上位、下位，别列⑧下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。假令积罂：最上行纵广各二罂，最下行各十二罂，行行相次。

先以上二行相次，率至十二，当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。

重列⑨下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术⑩。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。

古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径。以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧。再割亦如之，减去已割之弧，则再割之弧也。假令有圆田，径十步，欲割二步。以半径为弦，五步自乘得二十五；又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九；

用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之为所割直径。以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。今圆径十，已足盈数，无可除。只用四尺加入直径，为所割之孤，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步求弧数，则当折半，乃所谓以圆径除之也。

此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。

【注释】

①积尺：在本文中泛指体积，也就是“立方尺”的意思。积：数学名词，两个或多个数相乘的结果称为这些数的积。在古代算学书籍里常借用长度单位名称来兼表面积单位或者体积单位，因此，“积尺”在古代既可以表示“平方尺”，也可以表示“立方尺”。

②刍萌：长方楔形状，其底面为长方形，两个侧面为梯形，也称为刍甍（hōnɡ）。

③鳖臑：一种锥体，底面为直角三角形且有一棱与底面垂直。

④阳马：四棱锥，有时指底面为长方形且有一棱与底面垂直的锥体。

⑤立方：文中指正方体。

⑥以直高乘之：用梯形面的垂直高相乘，文中指用上句中所得的数值（梯形的上下宽相加除以二）与高相乘。至此，实际上就得到了这个梯形的面积，也为下一步乘以长度得到物体的体积作了准备。

⑦罂：古代一种腹大口小的陶制容器。

⑧别列：文中指另外计算。

⑨重列：另外列出。

⑩会圆之术：会圆术，沈括所创的一种计算圆弓形弧长的近似方法，其近似公式为C＝a+h2r×6，其中r为半径，h为矢高，a为弦长。沈括并未给出这一公式的推导，它很可能与《九章算术》中“弧田术”有着某种密切的关系。

别：另，另外。古代无“另”字，用“另”的地方常写作“别”。

各自乘：文中指将弦、股各自平方。

再割亦如之：再次切割也如此类推。

减去已割之弧，则再割之弧也：（用总的弧长）减去已割部分的弧长，就是再切割之田的弧长了。

步：古代计量单位，一步为五尺。

造微之术：比较精确的计算方法。

志：记，记述。

【译文】

算术中求物体体积的方法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马等，各种形状的物体都具备了，只是没有隙积术。

古代的算法：凡计算物体的体积，有立方体，是指六个面都是正方形的物体，其计算方法是把一条边自乘两次就可以求得了。

有堑堵，是指有点像土墙形状的物体，两边是斜的，两头的面是垂直的。

它的截面面积的算法是：先把上、下底的宽相加，除以二，作为截面的宽，用直高与它相乘就求得了一个值；

再将直高作为股，用上底面的宽减去下底面的宽，所得之差除以二作为勾，用勾股定理算出弦，就是它的斜边长。有刍童，是指有点像翻过来的方斗形状，四侧都是斜面。

它的计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；

将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；

把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一（就求得了它的体积）。

隙积，是指堆累起来而其中有空隙的物体，像堆叠起来的棋子、分层建造起来的土坛以及酒馆里堆累起来的酒坛子一类的物体。它们虽像倒扣着的斗，四侧都是斜面，但是由于边缘存在着一定的残缺或空隙，如果用刍童法计算，所得数量往往比实际的要少。

我想出了一种计算方法：用刍童法算出它的上位、下位数值，另外单独列出它的下底宽，减去上底宽，将所得之差乘高，取其六分之一，再并入前面的数目就可以了。假设有用酒坛子累成的堆垛，最上层的长、宽都是两只坛子，最下层的长、宽都是十二只坛子，一层层交错堆垛好。先从最上层数起，数到有十二只坛子的地方，正好是十一层。

用刍童法来计算，把上层的长乘二得四，与下层的长相加得十六，与上层的宽相乘，得三十二；再把下层的长乘二得二十四，与上层的长相加得二十六，与下层的宽相乘，得三百一十二；上、下两数相加，得三百四十四，乘高得三千七百八十四。

另外将下层的宽十二减去上层的宽，得十，与高相乘，得一百一十，与前面的数字相加，得三千八百九十四；取它的六分之一，得六百四十九。这就是这堆酒坛的数量。运用刍童法算出的是实方的体积，运用隙积法算出的是空缺部分拼合成的体积，也就可以算出多余的体积。

丈量土地的方法，方、圆、曲、直的算法都有，不过没有会圆的算法。凡是圆形的土地，既能够拆开来，也应该能让它拼合起来恢复圆形。

古代的算法，只用中破圆法把圆形拆开来计算，它的误差有达三倍之多的。我另外设计了一种拆开、会合的计算方法。假设有一块圆形的土地，用它的直径的一半作为弦，再以半径减去所割下的弧形的高，用它们的差作为股；弦、股各自平方，用弦的平方减去股的平方，将它们的差开平方后作为勾，再乘二，就是所割弧形田的弦长。

把所割的弧形田的高平方，乘二，再除以圆的直径，所得的商加上弧形的弦长，便是所割弧形田的弧长。再割一块田也像这样计算，用总的弧长减去已割部分的弧长，就是再割之田的弧长了。假如有块圆形的土地，直径是十步，想使割出的圆弧高二步，就用圆半径五步作为弦，五步自乘得二十五；

又用半径减去弧形的高二步，它们的差三步作为股，自乘得九；用它与弦二十五相减得十六，开平方得四，这就是勾，再乘二，就是弧的弦长。把圆弧的高二步自乘，得四，再乘二得八，退上一位为四尺，用圆的直径相除。

现今圆的直径为十，已经满了整十数，不可除。只用四尺加下圆弧直径，就是所割圆的弧长，共得圆弧直径八步四尺。

再割一块圆田，也依照这种方法。如果圆直径是二十步，要求弧长，就应当折半，也就是所说的要用圆弧的半径来除它。这两种方法都涉及精确的算法，是古书里没有说到的，随笔记录于此。

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【评析】

此门主要是谈书画鉴赏的，但涉及书法、绘画理论及技巧，保存了重要的书画史资料，多为后世书画学著作所引用。

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董源、巨然山水画

【原文】

江南中主①时，有北苑使董源②善画，尤工秋岚远景，多写江南真山，不为奇峭之笔。其后建业僧巨然③祖述源法，皆臻妙理。大体源及巨然画笔皆宜远观，其用笔甚草草，近视之几不类物象，远观则景物粲然，幽情远思，如睹异境。如源画《落照图》，近视无功，远观村落杳然深远，悉是晚景，远峰之顶宛有反照之色，此妙处也。

【注释】

①江南中主：即南唐皇帝李璟（916—961）。942年即位，后为后周所攻，去帝号，改称“江南国主”。

②董源：南唐画家。字叔达，钟陵（今江西进贤）人。擅长水墨山水画，为当时南方山水画流派的主要代表人物之一。

③巨然：五代宋初画家。初为江宁开元寺僧，后随南唐后主降宋入汴京，居开宝寺。继承董源水墨山水画风而有发展，世称“董巨”。

【译文】

江南中主在位时，有北苑使董源擅长绘画，尤其精工于秋天雾霭远景的画作，多描写江南的真山真水，而不用奇特峻峭的笔法。后来建业僧人巨然继承董源的画法，都达到出神入化的境界。

大体董源及巨然的水墨画作都应该远观，他们的用笔甚为潦草，靠近观看几乎不似物类形象，远看则景物粲然呈现，寄托幽远的情思，使人如目睹胜境奇观。

如董源所画的《落照图》，近看不见有什么功夫，远观则村村落落邈然深邃悠远，全是一派日落远山时的晚景，远方的峰顶宛然有落日返照的霞光，这正是他的画作的奇妙之处。

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王羲之《乐毅论》石刻

【原文】

王羲之书，旧传唯《乐毅论》乃羲之亲书于石，其他皆纸素所传。唐太宗裒聚二王墨迹，唯《乐毅论》石本在，其后随太宗入昭陵①。朱梁时，耀州节度使温韬②发昭陵得之，复传人间。或曰公主以伪本易之，元不曾入圹③。本朝入高绅④学士家。皇祐中，绅之子高安世为钱塘主簿，《乐毅论》在其家，予尝见之。时石已破缺，末后独有一“海”字者是也。其家后十余年，安世在苏州，石已破为数片，以铁束之。后安世死，石不知所在。或云苏州一富家得之，亦不复见。今传《乐毅论》皆摹本也，笔画无复昔之清劲。羲之小楷字，于此殆绝。《遗教经》之类，皆非其比也。

【注释】

①昭陵：唐太宗陵墓。

②温韬：华原（今陕西耀县）人。唐末为华原镇将，降于后梁，曾盗发唐诸帝陵墓。后唐明帝时被赐死。

③圹（kuànɡ）：墓穴。

④高绅：鄞县（今属浙江）人。为真宗朝宰相王钦若亲戚，曾屡任馆职，又历转运使、经略使等。

【译文】

王羲之王羲之的书法作品，旧时相传只有《乐毅论》是王羲之亲笔书写上石的，其他都是以纸本或绢本流传的。

唐太宗搜集王羲之父子的墨迹，只有《乐毅论》的石刻尚在，后来太宗去世时被随葬于昭陵。

朱氏后梁时，耀州节度使温韬盗发昭陵，得到《乐毅论》石刻，才使之复传于世间。

也有人说此石刻在随葬时，被太宗公主用伪造的石刻调换了，真石刻原不曾入墓穴。此石刻到本朝入于高绅学士家。皇祐年间，高绅之子高安世为钱塘主簿，《乐毅论》石刻在其家，我曾见到过。

此时石刻已破损残缺，其文最末只剩一个“海”字的那一块就是。此后十余年，高安世家在苏州，石刻已破裂为好几片，用铁箍箍在一起。后来安世死去，石刻也不知所在。

或说石刻流落到了苏州的一个富豪家里，然而也没有人再见到过。现在流传的《乐毅论》都是石刻本的摹本，笔画已没有先前石刻本的清劲之风。羲之的小楷字作品，大概到此就绝迹了。

至于《遗教经》之类，则都不能和这幅作品相比。

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学书法度

【原文】

予从子辽①喜学书，尝论曰：“书之神韵虽得之于心，然法度必资讲学。常患世之作字，分制无法。凡字有两字、三四字合为一字者，须字字可拆；若笔画多寡相近者，须令大小均停。所谓笔画相近，如‘殺’字，乃四字合为一，当使‘乂’、‘木’、‘几’、‘又’四者大小皆均；如‘尗’字，乃二字合，当使‘上’与‘小’二者大小长短皆均。若笔画多寡相远，即不可强牵使停，寡在左则取上齐，寡在右则取下齐。如从‘口’从‘金’，此多寡不同也，‘唫’即取上齐，‘釦’则取下齐；如从‘尗’从‘又’，及从‘口’从‘胃’，三字合者，多寡不同，则‘叔’当取下齐，‘喟’当取上齐。如此之类，不可不知。”又曰：“运笔之时，常使意在笔前，此古人良法也。”

【注释】

①辽：沈辽（1032—1085）。字叡达，曾任酒税、市舶司、军资库等监官，因事下狱，被流放。擅长诗文、书法。

【译文】

我的侄子沈辽喜欢学书法，曾经议论说：“书法的神韵虽然要有悟性才能体会到，然而规矩法度是一定要靠讲论学习的。常见世人写字的毛病，在于合体字各部分的拆合安排没有章法。

凡是一字有用两个字或三四个字合成的，应该使字字可拆开；如果笔画的多寡相近的，要使它们大小匀称。

所谓笔画的多寡相近，如‘殺’字，是四个字合为一字的，应当使‘乂’、‘木’、‘几’、‘又’四者的大小都均匀；又如‘尗’字，是两个字合为一字的，应当使‘上’与‘小’二者的大小长短都均匀。

如果笔画的多寡相差较多，则不可牵强地使之均匀，笔画少的在左就在上面取齐，笔画少的在右就在下面取齐。

如从‘口’从‘金’，这是笔画多寡不同的，二者合成‘唫’字即在上面取齐，合成‘釦’字则在下面取齐；

又如从‘尗’从‘又’，及从‘口’从‘胃’，都是三个字合成一字的，两边笔画的多寡不同，则‘叔’字应当在下面取齐，‘喟’字应当在上面取齐。诸如此类，都不可不知道。”

又说：“运笔的时候，要常使每一笔的书写法度在落笔之前已在心中形成，这是古人练习书法的良好方法。”

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徐熙与黄筌

【原文】

国初，江南布衣徐熙①、伪蜀翰林待诏黄筌②，皆以善画著名，尤长于画花竹。蜀平，黄筌并子居宝、居寀、居实，弟惟亮，皆隶翰林图画院，擅名一时。其后江南平，徐熙至京师，送图画院。品其画格，诸黄画花，妙在赋色，用笔极新细，殆不见墨迹，但以轻色染成，谓之“写生”；徐熙以墨笔画之，殊草草，略施丹粉而已，神气迥出，别有生动之意。筌恶其轧己，言其粗恶不入格，罢之。熙之子乃效诸黄之格，更不用墨笔，直以彩色图之，谓之“没骨图”，工与诸黄不相下，筌等不复能瑕疵，遂得齿院品。然其气韵，皆不及熙远甚也。

【注释】

①徐熙：金陵（今江苏南京）人。南唐时不仕，后入宋。与黄筌并为五代宋初花鸟画不同流派的代表人物。

②黄筌（约903—965）：字要叔，成都人。仕前、后蜀，入宋官至太子左赞善大夫。与诸子及弟惟亮并善花鸟画，自成一派。

【译文】

本朝立国之初，江南处士徐熙、后蜀翰林待诏黄筌，都以善画著名，尤其擅长画花竹。后蜀平定后，黄筌及诸子居宝、居寀、居实，以及弟惟亮，都入宋而隶籍于翰林图画院，擅画名于一时。此后江南平定，徐熙被征至京师，也送到图画院供职。

品评他们的绘画风格，黄氏父子兄弟画花，妙在着色，用笔极为鲜艳细致，几乎看不到墨迹，只以淡淡的色彩染成，他们自称为“写生”；徐熙画花，则是用墨笔画的，特别潦草，然后在水墨上略施彩色，神气便迥然而出，别有一番生动的韵味。

黄筌妒忌徐熙超过自己，就说徐熙的画粗糙拙劣不入流，徐熙遂被罢去图画院待诏的职事。徐熙之子于是仿效诸黄的风格，更不用墨笔，而直接用彩色来画，称所画为“没骨图”，且精工与诸黄不相上下，黄筌等也不再能指摘其瑕疵，因而得以列入图画院入品的作品中。然而所谓“没骨图”的气韵，已远不及徐熙的作品。

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晋宋人墨迹

【原文】

晋、宋人墨迹，多是吊丧问疾书简。唐贞观中，购求前世墨迹甚严，非吊丧问疾书迹，皆入内府。士大夫家所存，皆当日朝廷所不取者，所以流传至今。

【译文】

现存的两晋及刘宋时人物的书法真迹，大都是吊丧问疾的书信之类。唐代贞观年间，搜访购求前世书法真迹的措施非常严格，只要不是吊丧问疾的书信之类，全都入于皇宫的内府。如今士大夫家所收藏的，都是当时朝廷所不收的，所以能够流传到现在。

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吴道子画圆光

【原文】

《名画录》①：“吴道子②尝画佛，留其圆光，当大会中，对万众举手一挥，圆中运规③，观者莫不惊呼。”画家为之自有法，但以肩倚壁④，尽臂挥之，自然中规。其笔画之粗细，则以一指拒壁⑤以为准，自然均匀。此无足奇。道子妙处，不在于此，徒惊俗眼耳。

【注释】

①《名画录》：五代张僧繇著。

②吴道子：唐代著名画家，阳翟（今河南禹州）人，唐玄宗时任内教博士，改名道玄，世称画圣，其绘画技法对后世影响很大，尤其擅长画佛教和道教人物。

③运规：转动圆规。运：转动。

④倚壁：靠近墙壁。倚：在古汉语中有一个义项就是“靠近”，如李白诗《明堂赋》“岌嵩喷伊，倚日薄月”中的“倚”。

⑤拒壁：抵住墙壁。文中是指画线条时，伸出一个手指抵住墙壁来固定画笔与墙壁的距离，从而画出粗细相等的线条。

【译文】

《名画录》里说：“吴道子曾经绘制佛像，留下一圈佛光不画，等到举行盛典的时候，当着成千上万人的面，举起手来一挥而就，佛光圆得就像用圆规所画一般，众人无不惊叹。”画家绘制圆形自有办法，只要将肩头靠近墙壁，尽量伸长臂膀挥手画圆，（所画的圆）自然像用圆规画出的一样。

画家控制笔画粗细的方法，就是由握笔之手的一个手指抵住墙壁作为保持距离的标准，画出的线条自然粗细均匀。这些都不足为奇。吴道子绘画的高妙之处并不在于这些地方，只不过令俗人之眼感到惊异罢了。

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徐铉善小篆

江南徐铉①善小篆，映日视之，画之中心有一缕浓墨，正当其中。至于屈折处亦当中，无有偏侧处。乃笔锋直下，不倒侧，故锋常在画中。此用笔之法也。铉尝自谓“吾晚年始得竵匾②之法”。凡小篆，喜瘦而长；竵匾之法，非老笔不能也。

【注释】

①徐铉（917—992）：字鼎臣，广陵（今江苏扬州）人。初仕南唐为大臣，入宋后历官给事中。

②竵（wāi）匾：读作“歪扁”。

小篆书法，如传统所称的“铁筋篆”，一般喜正直瘦长，然过正而无偏侧，皆长而无扁圆，则显得呆板。

竵匾之法，盖折衷隶法于篆书，虽有歪、扁之笔而不失正，是为难得。

【译文】

南唐徐铉善于小篆书法，对着日光看他的小篆作品，笔画的中心都有一缕浓墨，恰在笔画的正中。至于笔画的曲折之处，这缕浓墨也在正中，没有偏侧到笔画两边的。

这是由于笔锋直行，既不倒退，也不偏斜，所以笔锋常在笔画的正中。这是小篆书法正宗的运笔法度。

徐铉曾自称“我到晚年才摸索出竵匾之法”。

凡是小篆，一般喜欢瘦而长；折衷使用歪、扁的运笔法度，非具有老到经验的书法家不能做到。

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宋迪论山水画“活笔”

【原文】

度支员外郎宋迪①工画，尤善为平远山水。其得意者，有《平沙雁落》《远浦帆归》《山市晴岚》《江天暮雪》《洞庭秋月》《潇湘夜雨》《烟寺晚钟》《渔村落照》，谓之“八景”，好事者多传之。往岁小窑村陈用之②善画，迪见其画山水，谓用之曰：“汝画信工，但少天趣。”用之深伏其言，曰：“常患其不及古人者，正在于此。”迪曰：“此不难耳。汝先当求一败墙，张绢素讫，倚之败墙之上，朝夕观之。观之既久，隔素见败墙之上，高平曲折，皆成山水之象。心存目想：高者为山，下者为水；坎者为谷，缺者为涧；显者为近，晦者为远。神领意造，倪然③见其有人禽草木飞动往来之象，了然在目。则随意命笔，默以神会，自然境皆天就，不类人为，是谓‘活笔’。”用之自此画格得进。

【注释】

①宋迪：字复古，洛阳人。历官度支员外郎。善画寒林、松石，尤善平山远水。作画崇尚意境，苏轼曾称其画“妙绝一时”。

②陈用之：“之”亦作“智”。郾城（今属河南）人。仁宗天圣中为图画院祗候，未久罢归。居小窑镇，世人多称之为“小窑陈”。善画佛道、人马、山川林木，而偏于精详。

③倪（huǎnɡ）然：通“恍然”，忽然领悟的样子。

【译文】

度支员外郎宋迪精工绘画，尤其擅长平山远水。

其得意作品，有《平沙雁落》《远浦帆归》《山市晴岚》《江天暮雪》《洞庭秋月》《潇湘夜雨》《烟寺晚钟》《渔村落照》，称为“八景”，喜欢的人多为传播。

往年小窑村陈用之善于绘画，宋迪见其山水画，对他说：“你的画确实精工，但缺少自然情趣。”

用之深深叹服他这话，说：“我常担心自己的画不及古人，正在于这一点。”

宋迪说：“这点不难做到。你可以先找一堵破败的墙壁，对着墙壁张起一幅白色丝绢的大画布，然后倚在败墙上，早晨晚上日出日落时，都看败墙在画布上的投影。

观看得久了，隔着画布就能见到败墙的上部，高低平凹，曲曲折折，都能变幻成山水的景象。

心目一体而存想：败墙高处是山，低处是水；

凹陷处是山谷，缺口处是山涧；

显豁处是近景，模糊处是远景。神会而意到，忽然发现败墙上都是人物、禽兽、草木飞动往来的景象，全然历历在目。

于是随意命笔，默然画出心领神会的意象，自然画中的意境就都天然而成，不似人为的造作，这就叫做‘活笔’。”

用之自此以后，绘画的格调得以不断进步。